Como encontro o valor de tan pi / 12?

Responda:

$tan (\frac{π}{12}) = 2 - \sqrt{3}$ $tan (pi/12) = 2 - sqrt3$

Explicação:

Use a identidade trigonométrica:
$tan 2 a = \frac{2 tan a}{1 - {tan}^{2} a}$ $tan 2a = (2tan a)/(1 - tan^2 a)$
Nesse caso, a tabela trig fornece:
$tan (\frac{π}{6}) = \frac{2 tan (\frac{π}{12})}{1 - {tan}^{2} (\frac{π}{12})} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $tan (pi/6) = (2tan (pi/12))/(1 - tan^2 (pi/12)) = 1/sqrt3$
Multiplicação cruzada:
$2 tan (\frac{π}{12}) = 1 - {tan}^{2} (\frac{π}{12})$ $2tan (pi/12) = 1 - tan^2 (pi/12)$
${tan}^{2} (\frac{π}{12}) + 2 \sqrt{3} tan (\frac{π}{12}) - 1 = 0$ $tan^2 (pi/12) + 2sqrt3tan (pi/12) - 1 = 0$
Resolva esta equação quadrática para tan (pi / 12):
$D = d^{2} = b^{2} - 4 a c = 12 + 4 = 16$ $D = d^2 = b^2 - 4ac = 12 + 4 = 16$ -> $d = \pm 4$ $d = +- 4$
Existem raízes reais da 2:
$tan (\frac{π}{12}) = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{d}{2 a} = - \frac{2 \sqrt{3}}{2} \pm \frac{4}{2} = - \sqrt{3} \pm 2$ $tan (pi/12) = - b/(2a) +- d/(2a) = - (2sqrt3)/2 +- 4/2 = - sqrt3 +- 2$
Como tan (pi / 12) é positivo, portanto:
$tan (\frac{π}{12}) = 2 - \sqrt{3}$ $tan (pi/12) = 2 - sqrt3$