Como encontro o valor de tan pi / 12?

Use a identidade trigonométrica:
#tan 2a = (2tan a)/(1 - tan^2 a)#
Nesse caso, a tabela trig fornece:
#tan (pi/6) = (2tan (pi/12))/(1 - tan^2 (pi/12)) = 1/sqrt3#
Multiplicação cruzada:
#2tan (pi/12) = 1 - tan^2 (pi/12)#
#tan^2 (pi/12) + 2sqrt3tan (pi/12) - 1 = 0#
Resolva esta equação quadrática para tan (pi / 12):
#D = d^2 = b^2 - 4ac = 12 + 4 = 16# -> #d = +- 4#
Existem raízes reais da 2:
#tan (pi/12) = - b/(2a) +- d/(2a) = - (2sqrt3)/2 +- 4/2 = - sqrt3 +- 2#
Como tan (pi / 12) é positivo, portanto:
#tan (pi/12) = 2 - sqrt3#