Como você diferencia #f (t) = tan (e ^ t) + e ^ (tant) #?

Usando a regra da cadeia, primeiro pegamos a derivada do termo "externo" e depois multiplicamos o resultado pela derivada do termo "interno".

Para a primeira metade da função, #tan(e^t)#, pegamos a derivada de tan, que é #sec^2#e deixamos o termo interno (#e^t#) sozinho. Isso nos dá #sec^2(e^t)#. Agora multiplicamos essa derivada pela derivada do termo "interno", que ainda é apenas #e^t#. Para a primeira metade do derivativo, temos #e^t*sec^2(e^t)#.

Para a segunda metade da função, tomamos a derivada de #e#, que ainda é apenas #e#. Isso nos dá, ainda, #e^tan(t)#. Agora pegamos a derivada do termo "interno", #tan(t)#, Que é #sec^2(t)#. Eles se multiplicam, assim como acima, para dar a segunda metade do derivado como #e^(tan(t))*sec^2(t)#.

Agora, simplesmente adicionamos as derivadas, conforme especificado por nossa função original. Nossa resposta final é:

#f'(t)=e^tsec^2(e^t)+e^(tan(t))sec^2(t)#