Como você encontra a área da região delimitada pela curva polar $r^{2} = 4 cos (2 θ)$ $r ^ 2 = 4cos (2theta)$ ?

A primeira coisa a lembrar que uma integral é uma maneira de adicionar um número infinito de áreas. Para coordenadas retangulares ( $y = f (x)$ $y=f(x)$ ), essas áreas são sempre retângulos.

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ $int_a^bf(x)dx$

literalmente significa "vamos encontrar a área de um número infinito de retângulos entre $x = a$ $x=a$ e $x = b$ $x=b$ , Onde $f (x)$ $f(x)$ é igual à altura de cada retângulo.

As coordenadas polares, embora pareçam mais complicadas, seguem o mesmo padrão geral. A grande diferença é que não estamos lidando com retângulos. Estamos lidando com setores de um círculo. Também conhecida como fatias de pizza.

A área de uma única fatia de pizza de um círculo é $A = \frac{1}{2} r^{2} θ$ $A=1/2r^2theta$

(lembre-se de que esta fórmula de área específica só funciona se $θ$ $theta$ está em radianos!)

Portanto, a área de um número infinito de "fatias de pizza" é

$\frac{1}{2} \int_{a}^{b} r^{2} d θ$ $1/2int_a^br^2d theta$

que literalmente significa "vamos encontrar a área de um número infinito de fatias de pizza entre $θ =$ $theta=$ ângulo $a$ $a$ e $θ =$ $theta=$ ângulo $b$ $b$ onde r é igual ao raio de cada fatia de pizza.

Agora, para o seu problema específico, substituímos $4 cos (2 θ)$ $4cos(2theta)$ para $r^{2}$ $r^2$ .

$\frac{1}{2} \int_{a}^{b} r^{2} d θ = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} 4 cos (2 θ) d θ$ $1/2int_a^br^2d theta = 1/2int_a^b4cos(2theta)d theta$

Agora temos que determinar uma adequada $a$ $a$ e $b$ $b$ .

Primeiro, lembramos como é um lemniscato.

O $2 θ$ $2theta$ torna isso um pouco complicado. Basicamente, este gráfico polar passa por seu ciclo duas vezes mais rápido. Isso significa quando $θ = \frac{π}{4}$ $theta=pi/4$ , $cos (2 θ)$ $cos(2theta)$ está se comportando como se $θ = \frac{π}{2}$ $theta=pi/2$ . É por isso que o raio diminui para zero em $θ = \frac{π}{4}$ $theta=pi/4$ . Porque $cos (2 \frac{π}{4}) = cos (\frac{π}{2}) = 0$ $cos(2pi/4)=cos(pi/2)=0$ .

Parece que a coisa mais simples a fazer é ter o nosso ângulo de $θ = - \frac{π}{4}$ $theta=-pi/4$ para $θ = \frac{π}{4}$ $theta = pi/4$ , o que nos dará a metade direita do lemniscato. Então, precisamos apenas duplicar nossa resposta para encontrar toda a área vinculada ao lemniscato.

Assim...

$A = 2 \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} 4 cos (2 θ) d θ$ $A=2int_(-pi/4)^(pi/4)4cos(2theta)d theta$

$A = 2 (\frac{1}{2}) \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} 4 cos (2 θ) 2 d θ$ $A=2(1/2)int_(-pi/4)^(pi/4)4cos(2theta)2d theta$

$A = \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} 4 cos (2 θ) 2 d θ$ $A=int_(-pi/4)^(pi/4)4cos(2theta)2d theta$

$A = 4 sin (2 θ) ∣_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} = 4 sin (2 \frac{π}{4}) - 2 sin (2 (- \frac{π}{4}))$ $A=4sin(2theta)|_(-pi/4)^(pi/4)=4sin(2pi/4)-2sin(2(-pi/4))$

$A = 4 sin (\frac{π}{2}) - 4 sin (- \frac{π}{2}) = 4 (1) - 4 (- 1) = 8$ $A=4sin(pi/2)-4sin(-pi/2)=4(1)-4(-1)=8$

Como você encontra a área da região delimitada pela curva polar r ^ 2 = 4cos (2theta) r2=4cos(2θ) r ^ 2 = 4cos (2theta) ?

Como você encontra a área da região delimitada pela curva polar $r^{2} = 4 cos (2 θ)$ $r ^ 2 = 4cos (2theta)$ ?