Como você encontra a área de superfície da parte do parabolóide circular # z = x ^ 2 + y ^ 2 # que fica dentro do cilindro # x ^ 2 + y ^ 2 = 1 #?

Eu assumo o seguinte conhecimento; faça como pergunta (s) separada (s) se alguma delas ainda não estiver estabelecida:

1. Conceito de derivadas parciais
2. A área de uma superfície, #f(x,y)#, acima de uma região R do plano XY é dada por #int int_R sqrt((f_x')^2 + (f_y')^2 +1) dx dy# onde
   #f_x'# e #f_y'# são os derivativos parciais de #f(x,y)# em relação a #x# e #y# respectivamente.
3. Ao converter a integral de uma função em coordenadas retangulares para uma função em coordenadas polares: #dx dy rarr (r) dr d theta#

If #z = f(x,y) = x^2 + y^2#
então #f_x' = 2x# e #f_y'= 2y#

A área de superfície sobre a região definida por #x^2+y^2 = 1#É dado por
#S =int int_R sqrt(4x^2 + 4y^2 + 1) dx dy#

Convertendo isso em coordenadas polares (porque é mais fácil trabalhar com a região circular usando coordenadas polares)
#S = int_(theta = 0)^(2pi) int_(r=0)^1 (4 r^2+1)^(1/2) (r) dr d theta#

#= int_(theta=0)^(2pi) ((4r^2+1)^(3/2))/(12) |_(r=0)^1 d theta#

#= int_(theta=0)^(2pi) (5sqrt(5)-1)/(12) d theta#

#= (5sqrt(5) -1)/(12) theta |_(theta=0)^(2pi)#

#= (5sqrt(5)-1)/6 pi#