Como você encontra a raiz quadrada de `13`?

Desde `13` é um número primo, não existe uma forma mais simples para sua raiz quadrada. `sqrt(13)` é um número irracional em algum lugar entre `3 = sqrt(9)` e `4 = sqrt(16)`.

Linearmente interpolando, uma primeira aproximação razoável seria:

`sqrt(13) ~~ 3.6 = 18/5`

Podemos obter melhores aproximações da nossa inicial (chame-a `a_0`) usando o método Newton Raphson.

Uma fórmula típica usada para derivar uma aproximação mais precisa para `sqrt(n)` seria:

`a_(i+1) = (a_i^2+n)/(2a_i)`

Eu prefiro separar `a_i` no numerador `p_i` e denominador `q_i`. Assim `a_i = p_i/q_i` e podemos iterar usando as fórmulas:

`{ (p_(i+1) = p_i^2 + n q_i^2), (q_(i+1) = 2 p_i q_i) :}`

No nosso exemplo, `n = 13`, `p_0 = 18`, `q_0 = 5` e encontramos:

`{ (p_1 = p_0^2 + 13 q_0^2 = 324 + 13*25 = 649), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 180) :}`

Se parássemos aqui, nossa aproximação seria:

`sqrt(13) ~~ 649/180 = 3.60bar(5)`

Vamos tentar mais uma iteração:

`{ (p_2 = p_1^2 + 13 q_1^2 = 421201 + 13*32400 = 842401), (q_2 = 2 p_1 q_1 = 233640) :}`

Parando aqui, temos:

`sqrt(13) ~~ 842401/233640 ~~ 3.60555127547`

Usando uma calculadora:

`sqrt(13) ~~ 3.60555127546398929311`