Como você encontra a raiz quadrada de # 13 #?

Desde #13# é um número primo, não existe uma forma mais simples para sua raiz quadrada. #sqrt(13)# é um número irracional em algum lugar entre #3 = sqrt(9)# e #4 = sqrt(16)#.

Linearmente interpolando, uma primeira aproximação razoável seria:

#sqrt(13) ~~ 3.6 = 18/5#

Podemos obter melhores aproximações da nossa inicial (chame-a #a_0#) usando o método Newton Raphson.

Uma fórmula típica usada para derivar uma aproximação mais precisa para #sqrt(n)# seria:

#a_(i+1) = (a_i^2+n)/(2a_i)#

Eu prefiro separar #a_i# no numerador #p_i# e denominador #q_i#. Assim #a_i = p_i/q_i# e podemos iterar usando as fórmulas:

#{ (p_(i+1) = p_i^2 + n q_i^2), (q_(i+1) = 2 p_i q_i) :}#

No nosso exemplo, #n = 13#, #p_0 = 18#, #q_0 = 5# e encontramos:

#{ (p_1 = p_0^2 + 13 q_0^2 = 324 + 13*25 = 649), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 180) :}#

Se parássemos aqui, nossa aproximação seria:

#sqrt(13) ~~ 649/180 = 3.60bar(5)#

Vamos tentar mais uma iteração:

#{ (p_2 = p_1^2 + 13 q_1^2 = 421201 + 13*32400 = 842401), (q_2 = 2 p_1 q_1 = 233640) :}#

Parando aqui, temos:

#sqrt(13) ~~ 842401/233640 ~~ 3.60555127547#

Usando uma calculadora:

#sqrt(13) ~~ 3.60555127546398929311#