Como você encontra a raiz quadrada do 15?

Responda:

#sqrt(15)# não é simplificável.

Podemos encontrar aproximações racionais #31/8#, #244/63#

Explicação:

#15=3xx5# não tem fatores quadrados, então #sqrt(15)# não pode ser simplificado.

Não é expressável como um número racional. É um número irracional um pouco menos que #4#.

Desde #15 = 4^2-1# é da forma #n^2-1#, #sqrt(15)# tem uma expansão de fração contínua bastante simples:

#sqrt(15) = [3;bar(1,6)] = 3+1/(1+1/(6+1/(1+1/(6+1/(1+1/(6+1/(1+...)))))))#

Podemos truncar essa expansão de fração contínua cedo para ficar racional aproximações para #sqrt(15)#.

Por exemplo:

#sqrt(15) ~~ [3;1,6,1] = 3+1/(1+1/(6+1/1)) = 3+1/(1+1/7) = 3+7/8 = 31/8 = 3.875#

#sqrt(15) ~~ [3;1,6,1,6,1] = 3+1/(1+1/(6+1/(1+1/(6+1/1)))) = 3+1/(1+1/(6+1/(1+1/7)))#

#= 3+1/(1+1/(6+7/8)) = 3+1/(1+8/55) = 3+55/63 = 244/63 = 3.bar(873015)#

Na realidade:

#sqrt(15) ~~ 3.87298334620741688517#

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