Como você encontra a raiz quadrada do 2000?

$\sqrt{2000} = 20 \sqrt{5} = 20 [2; ¯ 4] \approx 44.7$ $sqrt(2000) = 20 sqrt(5) = 20 [2;bar(4)] ~~ 44.7$

If $a, b \geq 0$ $a, b >= 0$ então $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ $sqrt(ab) = sqrt(a)sqrt(b)$

Assim:

$\sqrt{2000} = \sqrt{400 \cdot 5} = \sqrt{400} \cdot \sqrt{5} = 20 \sqrt{5}$ $sqrt(2000) = sqrt(400*5) = sqrt(400)*sqrt(5) = 20sqrt(5)$

Desde $5 = 2^{2} + 1$ $5 = 2^2+1$ é da forma $n^{2} + 1$ $n^2+1$ , $\sqrt{5}$ $sqrt(5)$ tem uma expansão simples como uma fração contínua:

$sqrt(5) = [2;bar(4)] = 2 + 1/(4+1/(4+1/(4+1/(4+...))))$

De acordo com a precisão que desejamos, podemos encerrar essa fração continuada em mais ou menos termos.

Por exemplo:

$sqrt(5) ~~ [2;4,4] = 2+1/(4+1/4) = 2 + 4/17 = 38/17$

Assim:

$sqrt(2000) = 20 sqrt(5) ~~ 20*38/17 ~~ 44.71$

Na realidade:

$sqrt(2000) ~~ 44.72135954999579392818$

Como outra maneira de calcular as aproximações sucessivas fornecidas pela fração continuada, considere a sequência:

$0, 1, 4, 17, 72, 305,...$

onde $a_1 = 0$ , $a_2 = 1$ , $a_(i+2) = a_i + 4a_(i+1)$

Isso é semelhante à sequência de Fibonacci, exceto que a regra é $a_(i+2) = a_i + bb(4)a_(i+1)$ em vez de $a_(i+2) = a_i + a_(i+1)$ .

Isso está fortemente relacionado à fração continuada:

$[4;bar(4)] = 4+1/(4+1/(4+1/(4+1/(4+...))))$

A relação entre termos sucessivos da sequência tende a $2+sqrt(5)$ (um pouco mais rápido que a sequência de Fibonacci $1/2+sqrt(5)/2$ )

Por exemplo, podemos encontrar uma aproximação para $sqrt(5)$ dentro:

$305/72 - 2 = 161/72$

Conseqüentemente $sqrt(2000) ~~ 20*161/72 = 3220/72 = 44.7dot(2)$