Como você encontra a raiz quadrada do 2000?

If #a, b >= 0# então #sqrt(ab) = sqrt(a)sqrt(b)#

Assim:

#sqrt(2000) = sqrt(400*5) = sqrt(400)*sqrt(5) = 20sqrt(5)#

Desde #5 = 2^2+1# é da forma #n^2+1#, #sqrt(5)# tem uma expansão simples como uma fração contínua:

#sqrt(5) = [2;bar(4)] = 2 + 1/(4+1/(4+1/(4+1/(4+...))))#

De acordo com a precisão que desejamos, podemos encerrar essa fração continuada em mais ou menos termos.

Por exemplo:

#sqrt(5) ~~ [2;4,4] = 2+1/(4+1/4) = 2 + 4/17 = 38/17#

Assim:

#sqrt(2000) = 20 sqrt(5) ~~ 20*38/17 ~~ 44.71#

Na realidade:

#sqrt(2000) ~~ 44.72135954999579392818#

Como outra maneira de calcular as aproximações sucessivas fornecidas pela fração continuada, considere a sequência:

#0, 1, 4, 17, 72, 305,...#

onde #a_1 = 0#, #a_2 = 1#, #a_(i+2) = a_i + 4a_(i+1)#

Isso é semelhante à sequência de Fibonacci, exceto que a regra é #a_(i+2) = a_i + bb(4)a_(i+1)# em vez de #a_(i+2) = a_i + a_(i+1)#.

Isso está fortemente relacionado à fração continuada:

#[4;bar(4)] = 4+1/(4+1/(4+1/(4+1/(4+...))))#

A relação entre termos sucessivos da sequência tende a #2+sqrt(5)# (um pouco mais rápido que a sequência de Fibonacci #1/2+sqrt(5)/2#)

Por exemplo, podemos encontrar uma aproximação para #sqrt(5)# dentro:

#305/72 - 2 = 161/72#

Conseqüentemente #sqrt(2000) ~~ 20*161/72 = 3220/72 = 44.7dot(2)#