Como você encontra a raiz quadrada do 7?

Responda:

$\sqrt{7} \approx 2.645751311$ $sqrt(7) ~~ 2.645751311$

Explicação:

Desde $7$ $7$ é um número primo, não possui fatores quadrados e sua raiz quadrada não pode ser simplificada.

É um número irracional, portanto, não pode ser representado exatamente por $\frac{p}{q}$ $p/q$ para quaisquer números inteiros $p, q$ $p, q$ .

No entanto, podemos encontrar boas razões aproximações para $\sqrt{7}$ $sqrt(7)$ .

Primeira nota que:

$8^{2} = 64 = 63 + 1 = 7 \cdot 3^{2} + 1$ $8^2 = 64 = 63+1 = 7*3^2 + 1$

Isto está na forma da equação de Pell:

$p^{2} = n q^{2} + 1$ $p^2 = n q^2 + 1$

com $n = 7$ $n = 7$ , $p = 8$ $p = 8$ e $q = 3$ $q = 3$ .

Isto significa que $\frac{8}{3}$ $8/3$ é uma aproximação econômica para $\sqrt{7}$ $sqrt(7)$ e isso também significa que podemos usar $\frac{8}{3}$ $8/3$ derivar a expansão contínua da fração de $\sqrt{7}$ $sqrt(7)$ :

$\frac{8}{3} = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}}$ $8/3 = 2 + 1/(1+1/(1+1/1))$

e, portanto, podemos deduzir:

$sqrt(7) = [2;bar(1,1,1,4)] = 2 + 1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+...))))))))$

A próxima aproximação econômica é dada truncando a expansão da fração continuada imediatamente antes da próxima $4$ , Isto é,

$sqrt(7) ~~ [2;1,1,1,4,1,1,1] = 2 + 1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/1)))))) = 127/48 = 2.6458bar(3)$

Essa também é uma solução da equação de Pell para $7$ , pois encontramos:

$127^2 = 16129 = 16128+1 = 7*48^2+1$

Se você quiser mais precisão, trunque pouco antes da próxima $4$ ou o seguinte.

Expandindo a parte repetida da fração continuada para $sqrt(7)$ podemos derivar uma fração contínua generalizada:

$sqrt(7) = 21/8+(7/64)/(21/4+(7/64)/(21/4+(7/64)/(21/4+(7/64)/(21/4+...))))$

Usando uma calculadora, encontramos:

$sqrt(7) ~~ 2.645751311$