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Como você encontra a série Maclaurin de f (x) = cos (x) ?

A série Maclaurin de f(x)=cosx is
f(x)=sum_{n=0}^infty (-1)^nx^{2n}/{(2n)!}.

Vamos ver alguns detalhes.

A série Maclaurin para f(x) em geral, pode ser encontrado por
f(x)=sum_{n=0}^infty {f^{(n)}(0)}/{n!}x^n

Vamos encontrar a série Maclaurin para f(x)=cosx.

Tomando os derivativos,
f(x)=cosx Rightarrow f(0)=cos(0)=1
f'(x)=-sinx Rightarrow f'(0)=-sin(0)=0
f''(x)=-cosx Rightarrow f''(0)=-cos(0)=-1
f'''(x)=sinx Rightarrow f'''(0)=sin(0)=0
f^{(4)}(x)=cosx Rightarrow f^{(4)}(0)=cos(0)=1

Desde f(x)=f^{(4)}(x), o ciclo de {1,0,-1,0} se repete.

Então, nós temos a série
f(x)=1-{x^2}/{2!}+x^4/{4!}-cdots=sum_{n=0}^infty(-1)^n x^{2n}/{(2n)!}