Como você encontra o polinômio Taylor de terceiro grau para #f (x) = ln x #, centrado em a = 2?

Responda:

#ln(2)+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+1/24(x-2)^3#.

Explicação:

A forma geral de uma expansão de Taylor centrada em #a# de uma função analítica #f# is #f(x)=sum_{n=0}^oof^((n))(a)/(n!)(x-a)^n#. Aqui #f^((n))# é a enésima derivada de #f#.

O polinômio de Taylor de terceiro grau é um polinômio que consiste nos quatro primeiros (#n# variando de #0# para #3#) termos da expansão completa de Taylor.

Portanto, esse polinômio é #f(a)+f'(a)(x-a)+(f''(a))/2(x-a)^2+(f'''(a))/6(x-a)^3#.

#f(x)=ln(x)#, assim sendo #f'(x)=1/x#, #f''(x)=-1/x^2#, #f'''(x)=2/x^3#. Portanto, o polinômio Taylor de terceiro grau é:
#ln(a)+1/a(x-a)-1/(2a^2)(x-a)^2+1/(3a^3)(x-a)^3#.

Agora temos #a=2#, então temos o polinômio:
#ln(2)+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+1/24(x-2)^3#.

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