Como você encontra uma expressão para #sin (x) # em termos de # e ^ (ix) # e # e ^ (ix) #?

Comece da série MacLaurin da função exponencial:

#e^x = sum_(n=0)^oo x^n/(n!)#

Sun:

#e^(ix) = sum_(n=0)^oo (ix)^n/(n!) = sum_(n=0)^oo i^nx^n/(n!) #

Separe agora os termos para #n# mesmo e #n# estranho, e deixe #n=2k# no primeiro caso, #n= 2k+1# no segundo:

#e^(ix) = sum_(k=0)^oo i^(2k) x^(2k)/((2k)!) + sum_(k=0)^oo i^(2k+1)x^(2k+1)/((2k+1)!) #

Observe agora que:

#i^(2k) = (i^2)^k = (-1)^k#

#i^(2k+1) = i*i^(2k) = i*(-1)^k#

Sun:

#e^(ix) = sum_(k=0)^oo (-1)^k x^(2k)/((2k)!) + isum_(k=0)^oo (-1)^k x^(2k+1)/((2k+1)!) #

e podemos reconhecer as expansões de MacLaurin de #cosx# e #sinx#:

#e^(ix) = cosx +i sinx#

qual é a fórmula de Euler.

Considerando que #cosx# é uma função uniforme e #sinx# e função ímpar, então temos:

#e^(-ix) = cos(-x) + i sin(-x) = cosx-i sinx#

então:

#e^(ix) - e^(-ix) = 2i sinx#

e finalmente:

#sinx = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)#