Como você fatora $x ^ 3 - 1$ ?

Expansão mediante resposta prévia:

Quero expandir uma ideia expressa na resposta anterior

A ideia de:

$(x^n - 1)/(x-1) = sum_(r=1) ^n x^(n-r)$

ou não na notação sigma:

$(x^n -1 )/(x-1) = x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1$

Podemos provar isso por indução:

Caso básico:

$=> n = 1$

$LHS: (x^1-1)/(x-1) = 1$

$RHS: x^(1-1) = x^0 = 1$

Portanto, o caso básico é válido

Indução:

Assumir $n=k$ detém:

$(x^k - 1)/(x-1) = sum_(r=1) ^k x^(k-r)$

$n = k+1$ :

$sum_(r=1) ^(k+1) x^(k+1-r) = (sum_(r=1) ^k x^(k+1-r)) +1$

$= x *(sum_(r=1) ^(k) x^(k-r)) + 1$

$= x * ( (x^k -1)/(x-1) ) + 1$

$= (x^(k+1) - x)/(x-1) + 1$

$= (x^(k+1) - x) / (x-1) + (x-1)/(x-1)$

$= (x^(k+1) - 1 )/(x-1)$

Portanto, é também isso que produzimos ao conectar diretamente à fórmula:

Portanto, vale para todos $k in ZZ^+$ e todos $k+1 in ZZ^+$ assim vale para todos $n in ZZ^+$

$=>$ Comprovado por indução matemática

Eu pensei que era uma boa ideia a considerar!

Como você fatora x ^ 3 - 1 x ^ 3 - 1 ?