Como você fatora # x ^ 6 + 125 #?
Responda:
#x^6+125 = (x^2+5)(x^2-sqrt(15)x+5)(x^2+sqrt(15)x+5)#
Explicação:
A soma da identidade dos cubos pode ser escrita:
#a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)#
Portanto, encontramos:
#x^6+125 = (x^2)^3+5^3#
#color(white)(x^6+125) = (x^2+5)((x^2)^2-5(x^2)+5^2)#
#color(white)(x^6+125) = (x^2+5)(x^4-5x^2+25)#
Para fatorar o quártico restante, observe que:
#(a^2-kab+b^2)(a^2+kab+b^2) = a^4+(2-k^2)a^2b^2+b^4#
Então com #a=x# e #b=sqrt(5)#, nós achamos:
#(x^2-ksqrt(5)x+5)(x^2+ksqrt(5)x+5) = x^4+(2-k^2)5x^2+25#
Igualando coeficientes, queremos:
#(2-k^2)5 = -5#
Conseqüentemente:
#k = +-sqrt(3)#
Assim:
#x^4-5x^2+25 = (x^2-sqrt(3)sqrt(5)x+5)(x^2+sqrt(3)sqrt(5)x+5)#
#color(white)(x^4-5x^2+25) = (x^2-sqrt(15)x+5)(x^2+sqrt(15)x+5)#
Juntando tudo:
#x^6+125 = (x^2+5)(x^2-sqrt(15)x+5)(x^2+sqrt(15)x+5)#
Podemos determinar rapidamente que nenhum desses quadráticos tem fatores lineares com coeficientes reais, pois #x^6+125# não possui zeros reais.