Como você usa as fórmulas de somatória para reescrever a expressão `Sigma (4i ^ 2 (i-1)) / n ^ 4` como k = 1 para n sem a notação de somatória e, em seguida, use o resultado para encontrar a soma para n = 10, 100, 1000 e 10000?

Let `S_n = sum_(i=1)^n (4i^2(i-1))/n^4`
`:. S_n = 4/n^4sum_(i=1)^n (i^3-i^2)`
`:. S_n = 4/n^4{sum_(i=1)^n i^3 - sum_(i=1)^n i^2 }`

E usando os resultados padrão:
`sum_(r=1)^n r^2 = 1/6n(n+1)(2n+1) " ; " sum_(r=1)^n r^3 = 1/4n^2(n+1)^2`

Nós temos;

`S_n = 4/n^4{ 1/4n^2(n+1)^2 - 1/6n(n+1)(2n+1)}`
`:. S_n = 4/n^4 ( (n(n+1))/12){ 3n(n+1) - 2(2n+1) }`
`:. S_n = ((n+1))/(3n^3) { 3n^2+3n-4n-2 }`
`:. S_n = ((n+1))/(3n^3) ( 3n^2-n-2 )`

E isso foi calculado usando o Excel para `n=10, 100, 1000, 10000`

O que acontece como `n rarr oo`?

[NB Como tarefa adicional, poderíamos concluir que, como `n rarr oo` então `S_n rarr 1`; Esta é provavelmente a conclusão desta pergunta]

Agora, `S_n = ((n+1))/(3n^3) ( 3n^2-n-2 )`

`:. S_n = 1/(3n^3)( 3n^3-n^2-2n + 3n^2-n-2 )`
`:. S_n = 1/(3n^3)( 3n^3+2n^2 -3n-2)`
`:. S_n = 1/3( 3+2/n -3/n^2-2/n^3)`

E entao,

`lim_(n rarr oo) S_n = lim_(n rarr oo) 1/3( 3+2/n -3/n^2-2/n^3)`
`:. lim_(n rarr oo) S_n = 1/3( 3+0 -0-0)`
`:. lim_(n rarr oo) S_n = 1`

O que confirma nossa suposição!