Como você usa o processo de limite para encontrar a área da região entre o gráfico # y = 16-x ^ 2 # e o eixo x no intervalo [1,3]?

#int_a^b f(x) dx = lim_(nrarroo) sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax#.

Onde, para cada número inteiro positivo #n#, Nós deixamos #Deltax = (b-a)/n#

E para #i=1,2,3, . . . ,n#, Nós deixamos #x_i = a+iDeltax#. (Estes #x_i# são os pontos finais corretos dos subintervalos.)

Prefiro fazer esse tipo de problema, um pequeno passo de cada vez.

#int_1^3 (16-x^2) dx#.

Encontrar #Delta x#

Para cada #n#, Nós temos

#Deltax = (b-a)/n = (3-1)/n = 2/n#

Encontrar #x_i#

E #x_i = a+iDeltax = 1+i2/n = 1+(2i)/n#

Encontrar #f(x_i)#

#f(x_i) = 16-(x_i)^2 = 16-(1+(2i)/n)^2#

# = 16-(1+(4i)/n+(4i^2)/n^2)#

# = 15 -(4i)/n - (4i^2)/n^2#

Encontre e simplifique #sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax # para avaliar as somas.

#sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax = sum_(i=1)^n( 15 -(4i)/n - (4i^2)/n^2) 2/n#

# = sum_(i=1)^n( 30/n -(8i)/n^2 - (8i^2)/n^3)#

# =sum_(i=1)^n ( 30/n) - sum_(i=1)^n((8i)/n^2) - sum_(i=1)^n((8i^2)/n^3)#

# =30 /nsum_(i=1)^n ( 1)-8/n^2sum_(i=1)^n(i)-8/n^3sum_(i=1)^n(i^2) #

Avalie as somas

# = 30/n(n) -8/n^2((n(n+1))/2) - 8/n^3((n(n+1)(2n+1))/6)#

(Usamos fórmulas de soma para as somas na etapa anterior.)

Reescreva antes de encontrar o limite

#sum_(i=1)^n f(x_i)Deltax = 30/n(n) - 8/n^2((n(n+1))/2) - 8/n^3((n(n+1)(2n+1))/6)#

# = 30 - 4((n(n+1))/n^2) - 4/3((n(n+1)(2n+1))/n^3)#

Agora precisamos avaliar o limite as #nrarroo#.

#lim_(nrarroo) ((n(n+1))/n^2) = 1#

#lim_(nrarroo) ((n(n+1)(2n+1))/n^3) = 2#

Para finalizar o cálculo, temos

#int_0^1 x^2 dx = lim_(nrarroo) (30 - 4((n(n+1))/n^2) - 4/3((n(n+1)(2n+1))/n^3)#

# = 30 - 4(1) - 4/3(2)#

# = 90/3 - 12/3 - 8/3 = 70/3#.