Como você usa o teste de comparação de limites para determinar se Sigma sin (1 / n) de [1, oo) é convergente ou divergente?
Deixei a_n=sin(1/n) e b_n=1/n.
Então lim_(nrarroo)a_n/b_n=lim_(nrarroo)sin(1/n)/(1/n). Existem várias maneiras de abordar esse limite. O primeiro é substituir as variáveis: as nrarroo,1/nrarr0, então isso pode ser reescrito como lim_(ararr0)sin(a)/a, que é um limite fundamental: lim_(ararr0)sin(a)/a=1. Tão:
lim_(nrarroo)sin(1/n)/(1/n)=lim_(ararr0)sin(a)/a=1
Outra maneira de contornar o limite é aplicar a regra de L'Hopital, pois está na forma indeterminada 0/0. Tão:
lim_(nrarroo)sin(1/n)/(1/n)=lim_(nrarroo)(-1/n^2cos(1/n))/(-1/n^2)=lim_(nrarroo)cos(1/n)=cos(0)=1
De qualquer maneira, vemos que lim_(nrarroo)a_n/b_n=1, que é um valor definido positivo.
De acordo com o teste de comparação de limites, isso nos diz que suma_n e sumb_n são convergentes ou divergentes.
Desde b_n=1/n, nós vemos que sumb_n é divergente (é a série harmônica), para que possamos concluir que suma_n=sum_(n=1)^oosin(1/n) também é divergente.