Como você usa o teste de comparação de limites para determinar se `Sigma sin (1 / n)` de `[1, oo)` é convergente ou divergente?

Deixei `a_n=sin(1/n)` e `b_n=1/n`.

Então `lim_(nrarroo)a_n/b_n=lim_(nrarroo)sin(1/n)/(1/n)`. Existem várias maneiras de abordar esse limite. O primeiro é substituir as variáveis: as `nrarroo,1/nrarr0`, então isso pode ser reescrito como `lim_(ararr0)sin(a)/a`, que é um limite fundamental: `lim_(ararr0)sin(a)/a=1`. Tão:

`lim_(nrarroo)sin(1/n)/(1/n)=lim_(ararr0)sin(a)/a=1`

Outra maneira de contornar o limite é aplicar a regra de L'Hopital, pois está na forma indeterminada `0/0`. Tão:

`lim_(nrarroo)sin(1/n)/(1/n)=lim_(nrarroo)(-1/n^2cos(1/n))/(-1/n^2)=lim_(nrarroo)cos(1/n)=cos(0)=1`

De qualquer maneira, vemos que `lim_(nrarroo)a_n/b_n=1`, que é um valor definido positivo.

De acordo com o teste de comparação de limites, isso nos diz que `suma_n` e `sumb_n` são convergentes ou divergentes.

Desde `b_n=1/n`, nós vemos que `sumb_n` é divergente (é a série harmônica), para que possamos concluir que `suma_n=sum_(n=1)^oosin(1/n)` também é divergente.