Como você usa o teste de comparação de limites para determinar se #Sigma sin (1 / n) # de # [1, oo) # é convergente ou divergente?

Deixei #a_n=sin(1/n)# e #b_n=1/n#.

Então #lim_(nrarroo)a_n/b_n=lim_(nrarroo)sin(1/n)/(1/n)#. Existem várias maneiras de abordar esse limite. O primeiro é substituir as variáveis: as #nrarroo,1/nrarr0#, então isso pode ser reescrito como #lim_(ararr0)sin(a)/a#, que é um limite fundamental: #lim_(ararr0)sin(a)/a=1#. Tão:

#lim_(nrarroo)sin(1/n)/(1/n)=lim_(ararr0)sin(a)/a=1#

Outra maneira de contornar o limite é aplicar a regra de L'Hopital, pois está na forma indeterminada #0/0#. Tão:

#lim_(nrarroo)sin(1/n)/(1/n)=lim_(nrarroo)(-1/n^2cos(1/n))/(-1/n^2)=lim_(nrarroo)cos(1/n)=cos(0)=1#

De qualquer maneira, vemos que #lim_(nrarroo)a_n/b_n=1#, que é um valor definido positivo.

De acordo com o teste de comparação de limites, isso nos diz que #suma_n# e #sumb_n# são convergentes ou divergentes.

Desde #b_n=1/n#, nós vemos que #sumb_n# é divergente (é a série harmônica), para que possamos concluir que #suma_n=sum_(n=1)^oosin(1/n)# também é divergente.