Como você usa uma função de massa de probabilidade para calcular a média e a variação de uma distribuição discreta?

Responda:

PMF para variável aleatória discreta X:" " p_X(x)" " or " "p(x).
Significar: " "mu=E[X]=sum_x x*p(x).
Variação: " "sigma^2 = "Var"[X]=sum_x [x^2*p(x)] - [sum_x x*p(x)]^2.

Explicação:

A função de massa de probabilidade (ou pmf, para abreviar) é um mapeamento, que utiliza todos os valores discretos possíveis que uma variável aleatória poderia assumir e os mapeia para suas probabilidades. Exemplo rápido: se X é o resultado de um único lançamento de dados, então X poderia assumir os valores {1,2,3,4,5,6}, cada um com igual probabilidade 1/6. O pmf para X seria:

p_X(x)={(1/6",", x in {1,2,3,4,5,6}),(0",","otherwise"):}

Se estamos trabalhando apenas com uma variável aleatória, o subscrito X geralmente é deixado de fora, então escrevemos o pmf como p(x).

Em resumo: p(x) é igual a P(X=x).

O significar mu (ou valor esperado E[X]) de uma variável aleatória X é a soma dos possíveis valores ponderados de X; ponderados, ou seja, pelas respectivas probabilidades. E se S é o conjunto de todos os valores possíveis para X, a fórmula da média é:

mu =sum_(x in S) x*p(x).

No nosso exemplo acima, isso funciona como

mu = sum_(x=1)^6 x*p(x)
color(white)mu = 1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+...+6(1/6)
color(white)mu = 1/6(1+2+3+4+5+6)
color(white)mu = 1/6(21)

color(white)mu = 3.5

O variação sigma^2 (Ou "Var"[X]) de uma variável aleatória X é uma medida do propagação dos valores possíveis. Por definição, é o valor esperado da distância ao quadrado entre X e mu:

sigma^2 = E[(X-mu)^2]

Com alguma teoria simples de álgebra e probabilidade, isso se torna

sigma^2 = E[X^2] - mu^2

Já temos uma fórmula para mu" "(E[X]), então agora só precisamos de uma fórmula para E[X^2]. Este é o valor esperado do ao quadrado variável aleatória, portanto, nossa fórmula para isso é a soma da ao quadrado valores possíveis para X, novamente, ponderados pelas probabilidades do x-valores:

E[X^2]=sum_(x in S) x^2*p(x)

Usando isso, nossa fórmula para a variação de X torna-se

sigma^2 =sum_(x in S) [x^2*p(x)] - mu^2
color(white)(sigma^2) =sum_(x in S) [x^2*p(x)] - [sum_(x in S) x*p(x)]^2

Para o nosso exemplo, mu foi calculado para ser 3.5, então usamos isso para o nosso último mandato para obter

sigma^2 =sum_(x=1)^6 [x^2*p(x)] - mu^2
color(white)(sigma^2) =[1^2(1/6)+2^2(1/6)+...+6^2(1/6)] - (3.5)^2
color(white)(sigma^2) =1/6(1+4+9+16+25+36)" "-" "(3.5)^2
color(white)(sigma^2) =1/6(91)" "-" "12.25
color(white)(sigma^2) ~~ 15.167-12.25
color(white)(sigma^2) = 2.917