Como você usa uma função de massa de probabilidade para calcular a média e a variação de uma distribuição discreta?

Responda:

PMF para variável aleatória discreta $X:" "$ $p_X(x)" "$ or $" "p(x)$ .
Significar: $" "mu=E[X]=sum_x x*p(x)$ .
Variação: $" "sigma^2 = "Var"[X]=sum_x [x^2*p(x)] - [sum_x x*p(x)]^2$ .

Explicação:

A função de massa de probabilidade (ou pmf, para abreviar) é um mapeamento, que utiliza todos os valores discretos possíveis que uma variável aleatória poderia assumir e os mapeia para suas probabilidades. Exemplo rápido: se $X$ é o resultado de um único lançamento de dados, então $X$ poderia assumir os valores ${1,2,3,4,5,6},$ cada um com igual probabilidade $1/6$ . O pmf para $X$ seria:

$p_X(x)={(1/6",", x in {1,2,3,4,5,6}),(0",","otherwise"):}$

Se estamos trabalhando apenas com uma variável aleatória, o subscrito $X$ geralmente é deixado de fora, então escrevemos o pmf como $p(x)$ .

Em resumo: $p(x)$ é igual a $P(X=x)$ .

O significar $mu$ (ou valor esperado $E[X]$ ) de uma variável aleatória $X$ é a soma dos possíveis valores ponderados de $X$ ; ponderados, ou seja, pelas respectivas probabilidades. E se $S$ é o conjunto de todos os valores possíveis para $X$ , a fórmula da média é:

$mu =sum_(x in S) x*p(x)$ .

No nosso exemplo acima, isso funciona como

$mu = sum_(x=1)^6 x*p(x)$
$color(white)mu = 1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+...+6(1/6)$
$color(white)mu = 1/6(1+2+3+4+5+6)$
$color(white)mu = 1/6(21)$

$color(white)mu = 3.5$

O variação $sigma^2$ (Ou $"Var"[X]$ ) de uma variável aleatória $X$ é uma medida do propagação dos valores possíveis. Por definição, é o valor esperado da distância ao quadrado entre $X$ e $mu$ :

$sigma^2 = E[(X-mu)^2]$

Com alguma teoria simples de álgebra e probabilidade, isso se torna

$sigma^2 = E[X^2] - mu^2$

Já temos uma fórmula para $mu" "(E[X]),$ então agora só precisamos de uma fórmula para $E[X^2].$ Este é o valor esperado do ao quadrado variável aleatória, portanto, nossa fórmula para isso é a soma da ao quadrado valores possíveis para $X$ , novamente, ponderados pelas probabilidades do $x$ -valores:

$E[X^2]=sum_(x in S) x^2*p(x)$

Usando isso, nossa fórmula para a variação de $X$ torna-se

$sigma^2 =sum_(x in S) [x^2*p(x)] - mu^2$
$color(white)(sigma^2) =sum_(x in S) [x^2*p(x)] - [sum_(x in S) x*p(x)]^2$

Para o nosso exemplo, $mu$ foi calculado para ser $3.5,$ então usamos isso para o nosso último mandato para obter

$sigma^2 =sum_(x=1)^6 [x^2*p(x)] - mu^2$
$color(white)(sigma^2) =[1^2(1/6)+2^2(1/6)+...+6^2(1/6)] - (3.5)^2$
$color(white)(sigma^2) =1/6(1+4+9+16+25+36)" "-" "(3.5)^2$
$color(white)(sigma^2) =1/6(91)" "-" "12.25$
$color(white)(sigma^2) ~~ 15.167-12.25$
$color(white)(sigma^2) = 2.917$