Como você usa uma função de massa de probabilidade para calcular a média e a variação de uma distribuição discreta?

A função de massa de probabilidade (ou pmf, para abreviar) é um mapeamento, que utiliza todos os valores discretos possíveis que uma variável aleatória poderia assumir e os mapeia para suas probabilidades. Exemplo rápido: se #X# é o resultado de um único lançamento de dados, então #X# poderia assumir os valores #{1,2,3,4,5,6},# cada um com igual probabilidade #1/6#. O pmf para #X# seria:

#p_X(x)={(1/6",", x in {1,2,3,4,5,6}),(0",","otherwise"):}#

Se estamos trabalhando apenas com uma variável aleatória, o subscrito #X# geralmente é deixado de fora, então escrevemos o pmf como #p(x)#.

Em resumo: #p(x)# é igual a #P(X=x)#.

O significar #mu# (ou valor esperado #E[X]#) de uma variável aleatória #X# é a soma dos possíveis valores ponderados de #X#; ponderados, ou seja, pelas respectivas probabilidades. E se #S# é o conjunto de todos os valores possíveis para #X#, a fórmula da média é:

#mu =sum_(x in S) x*p(x)#.

No nosso exemplo acima, isso funciona como

#mu = sum_(x=1)^6 x*p(x)#
#color(white)mu = 1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+...+6(1/6)#
#color(white)mu = 1/6(1+2+3+4+5+6)#
#color(white)mu = 1/6(21)#

#color(white)mu = 3.5#

O variação #sigma^2# (Ou #"Var"[X]#) de uma variável aleatória #X# é uma medida do propagação dos valores possíveis. Por definição, é o valor esperado da distância ao quadrado entre #X# e #mu#:

#sigma^2 = E[(X-mu)^2]#

Com alguma teoria simples de álgebra e probabilidade, isso se torna

#sigma^2 = E[X^2] - mu^2#

Já temos uma fórmula para #mu" "(E[X]),# então agora só precisamos de uma fórmula para #E[X^2].# Este é o valor esperado do ao quadrado variável aleatória, portanto, nossa fórmula para isso é a soma da ao quadrado valores possíveis para #X#, novamente, ponderados pelas probabilidades do #x#-valores:

#E[X^2]=sum_(x in S) x^2*p(x)#

Usando isso, nossa fórmula para a variação de #X# torna-se

#sigma^2 =sum_(x in S) [x^2*p(x)] - mu^2#
#color(white)(sigma^2) =sum_(x in S) [x^2*p(x)] - [sum_(x in S) x*p(x)]^2#

Para o nosso exemplo, #mu# foi calculado para ser #3.5,# então usamos isso para o nosso último mandato para obter

#sigma^2 =sum_(x=1)^6 [x^2*p(x)] - mu^2#
#color(white)(sigma^2) =[1^2(1/6)+2^2(1/6)+...+6^2(1/6)] - (3.5)^2#
#color(white)(sigma^2) =1/6(1+4+9+16+25+36)" "-" "(3.5)^2#
#color(white)(sigma^2) =1/6(91)" "-" "12.25#
#color(white)(sigma^2) ~~ 15.167-12.25#
#color(white)(sigma^2) = 2.917#