Como você usa uma integral para encontrar o volume de um toro sólido?

Se o raio de sua seção transversal circular for #r#, e o raio do círculo traçado pelo centro das seções transversais é #R#, então o volume do toro é #V=2pi^2r^2R#.

Digamos que o toro é obtido girando a região circular #x^2+(y-R)^2=r^2# sobre o #x#-eixo. Observe que esta região circular é a região entre as curvas: #y=sqrt{r^2-x^2}+R# e #y=-sqrt{r^2-x^2}+R#.

Pelo método Washer, o volume do sólido de revolução pode ser expresso como:
#V=pi int_{-r}^r[(sqrt{r^2-x^2}+R)^2-(-sqrt{r^2-x^2}+R)^2]dx#,
o que simplifica para:
#V=4piRint_{-r}^r sqrt{r^2-x^2}dx#
Como a integral acima é equivalente à área de um semicírculo com raio r, temos
#V=4piRcdot1/2pi r^2=2pi^2r^2R#