Dado um triângulo isósceles de ângulo reto com o lado $s$ $s$ e uma construção do retângulo MNOP inscrito, de modo que PO // MN. Calcular o perímetro e a área do retângulo MNOP em termos de $s$ $s$ ?

Responda:

$p = \frac{3}{\sqrt{2}} s$ $p = 3/sqrt(2)s$

$A = \frac{s^{2}}{4}$ $A = s^2/4$

Explicação:

Primeiro, vamos encontrar $M P$ $MP$ .

Porque $M N O P$ $MNOP$ é um retângulo, sabemos que $¯ ¯¯¯¯¯ ¯ M P$ $bar(MP)$ é paralelo a $¯ ¯¯¯¯ ¯ O N$ $bar(ON)$ e, assim, $¯ ¯¯¯¯ ¯ B C$ $bar(BC)$ . Isso implica que $∠ A M P = ∠ A B C$ $angleAMP = angleABC$ e $∠ A P M = ∠ A C B$ $angleAPM = angle ACB$ , o que significa $△ A M P$ $triangleAMP$ é similar a $△ A B C$ $triangleABC$ , e também é isósceles.

As $A M = M B$ $AM = MB$ e $A M + M B = s$ $AM+MB = s$ , nós sabemos isso $s = 2 A M$ $s = 2AM$ ou $A M = \frac{s}{2}$ $AM = s/2$ . Porque $△ A M P$ $triangleAMP$ é isósceles, isso também nos dá $A P = \frac{s}{2}$ $AP = s/2$ . Usando o teorema de Pitágoras, então nós temos $M P^{2} = A M^{2} + A P^{2} = 2 {(\frac{s}{2})}^{2} = \frac{s^{2}}{2}$ $MP^2 = AM^2 + AP^2 = 2(s/2)^2 = s^2/2$ , e entao $M P = \frac{s}{\sqrt{2}}$ $MP = s/sqrt(2)$ .

A seguir, encontraremos $M N$ $MN$ .

Porque $M N O P$ $MNOP$ é um retângulo, sabemos $∠ M N O = 90^{\circ}$ $angleMNO=90^@$ . Então como $∠ B N M$ $angleBNM$ é um elogio, também temos $∠ B N M = 90^{\circ}$ $angleBNM = 90^@$ .

Como os ângulos não retos de um triângulo retângulo isósceles são $45^{\circ}$ $45^@$ , nós sabemos $∠ A B C = 45^{\circ}$ $angleABC = 45^@$ implicando $∠ M B N = 45^{\circ}$ $angleMBN = 45^@$ . portanto $△ B N M$ $triangleBNM$ também é um triângulo retângulo isósceles, e assim $B N = N M$ $BN = NM$ .

Aplicando o teorema de Pitágoras novamente, temos $B M^{2} = B N^{2} + M N^{2} = 2 M N^{2}$ $BM^2 = BN^2 + MN^2 = 2MN^2$ . Mas como $B M = \frac{s}{2}$ $BM = s/2$ , podemos substituir isso e resolver $M N$ $MN$ obter $M N = \frac{s}{2 \sqrt{2}}$ $MN = s/(2sqrt(2))$

Agora que temos os comprimentos laterais do retângulo, podemos encontrar facilmente seu perímetro $p$ $p$ e área $A$ $A$ .

$p = 2 (\frac{s}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{s}{2 \sqrt{2}}) = \frac{2 s}{\sqrt{2}} + \frac{s}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} s$ $p = 2(s/sqrt(2)) + 2(s/(2sqrt(2))) = (2s)/sqrt(2)+s/sqrt(2) = 3/sqrt(2)s$

$A = (\frac{s}{\sqrt{2}}) (\frac{s}{2 \sqrt{2}}) = \frac{s^{2}}{4}$ $A = (s/sqrt(2))(s/(2sqrt(2))) = s^2/4$

Dado um triângulo isósceles de ângulo reto com o lado s s e uma construção do retângulo MNOP inscrito, de modo que PO // MN. Calcular o perímetro e a área do retângulo MNOP em termos de s s ?

Responda:

Explicação:

Dado um triângulo isósceles de ângulo reto com o lado $s$ $s$ e uma construção do retângulo MNOP inscrito, de modo que PO // MN. Calcular o perímetro e a área do retângulo MNOP em termos de $s$ $s$ ?