Dado um triângulo isósceles de ângulo reto com o lado # s # e uma construção do retângulo MNOP inscrito, de modo que PO // MN. Calcular o perímetro e a área do retângulo MNOP em termos de # s #?

Primeiro, vamos encontrar #MP#.

Porque #MNOP# é um retângulo, sabemos que #bar(MP)# é paralelo a #bar(ON)#e, assim, #bar(BC)#. Isso implica que #angleAMP = angleABC# e #angleAPM = angle ACB#, o que significa #triangleAMP# é similar a #triangleABC#, e também é isósceles.

As #AM = MB# e #AM+MB = s#, nós sabemos isso #s = 2AM#ou #AM = s/2#. Porque #triangleAMP# é isósceles, isso também nos dá #AP = s/2#. Usando o teorema de Pitágoras, então nós temos #MP^2 = AM^2 + AP^2 = 2(s/2)^2 = s^2/2#, e entao #MP = s/sqrt(2)#.

A seguir, encontraremos #MN#.

Porque #MNOP# é um retângulo, sabemos #angleMNO=90^@#. Então como #angleBNM# é um elogio, também temos #angleBNM = 90^@#.

Como os ângulos não retos de um triângulo retângulo isósceles são #45^@#, nós sabemos #angleABC = 45^@#implicando #angleMBN = 45^@#. portanto #triangleBNM# também é um triângulo retângulo isósceles, e assim #BN = NM#.

Aplicando o teorema de Pitágoras novamente, temos #BM^2 = BN^2 + MN^2 = 2MN^2#. Mas como #BM = s/2#, podemos substituir isso e resolver #MN# obter #MN = s/(2sqrt(2))#

Agora que temos os comprimentos laterais do retângulo, podemos encontrar facilmente seu perímetro #p# e área #A#.

#p = 2(s/sqrt(2)) + 2(s/(2sqrt(2))) = (2s)/sqrt(2)+s/sqrt(2) = 3/sqrt(2)s#

#A = (s/sqrt(2))(s/(2sqrt(2))) = s^2/4#