Ist die Cholesky-Zerlegung eindeutig?

Hallo, die Cholesky-Zerlegung ist ja auch eine Zerlegung in Dreiecksmatrizen. Bei der Standard-Zerlegung verlangt man meist, dass die Diagonale von aus 1 besteht. Das kann man leicht aus der Cholesky-Zerlegung erhalten, wenn man mit die Diagonalmatrix bezeichnet, die auf ihrer Diagonalen die Elemente hat.

mehr dazu

Warum QR Zerlegung?

Anwendung. Die QR-Zerlegung spielt in vielen Verfahren der numerischen Mathematik eine wichtige Rolle, beispielsweise um eine orthogonale oder unitäre Basis zu bestimmen oder um lineare Ausgleichsprobleme zu behandeln. Sie ist integraler Bestandteil des QR-Algorithmus zur Berechnung aller Eigenwerte einer Matrix. Wann ist Cholesky Zerlegung möglich? Beim Gauß-Newton-Verfahren ist damit bei jedem Iterationsschritt ein Gleichungssystem zu lösen, das sich mit dem Cholesky-Verfahren bestimmen lässt. Die Cholesky-Zerlegung kann auch zur Gewinnung eines Vorkonditionierungsverfahrens für lineare Gleichungssysteme mit positiv definiter Matrix benutzt werden.

Was sind die Hauptminoren?

Definition. Entstehen Minoren durch Streichungen von Zeilen und Spalten derselben Nummern, spricht man von Hauptminoren, genauer von Hauptminoren k-ter Ordnung, wenn die Größe der Untermatrix angegeben werden soll. Wann existiert eine QR Zerlegung? Zerlegung einer Matrix A ∈ ℝ^m×n in ein Produkt A = QR, wobei Q ∈ ℝ^m×m orthogonal und R ∈ ℝ^m×n eine obere Dreiecksmatrix ist. Hat A vollen Spaltenrang, also Rang(A) = n, so existiert eine QR-Zerlegung A = QR mit r_ii > 0. Diese Zerlegung ist eindeutig.

Wann ist die transponierte gleich der inversen?

Inverse Matrix

Eine orthogonale Matrix ergibt multipliziert mit ihrer transponierten Matrix, die Einheitsmatrix. Die transponierte und die invertierte Matrix sind bei einer orthogonalen Matrix gleich (A^T = A^-1). Das Gleiche gilt also auch für die Multiplikation mit der Inversen Matrix. Wann ist ein Problem gut konditioniert? Man sagt ein Problem ist gut konditioniert, wenn ein kleiner Fehler in der Eingabe auch einen kleinen Fehler in der Ausgabe erzeugt.

Wann ist eine Matrix diagonal?

Als Diagonalmatrix bezeichnet man eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonale bestimmt. Sind dabei alle Zahlen auf der Hauptdiagonalen identisch, so spricht man auch von Skalarmatrizen. Was ist eine obere Dreiecksmatrix? Eine quadratische Matrix heißt eine obere Dreiecksmatrix, wenn alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale gleich null sind. Eine quadratische Matrix heißt eine untere Dreiecksmatrix, wenn alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonale gleich null sind.

Wann ist eine Matrix positiv definit?

Beispiel 1: Definitheit bestimmen über Eigenwerte

Da alle Eigenwerte größer Null sind, ist die Matrix positiv definit.