Determine a forma completamente fatorada de $f (x) = 12 x^{3} - 44 x^{2} + 49 x - 15$ $f (x) = 12x ^ 3 - 44x ^ 2 + 49x - 15$ ?

Responda:

$12 x^{3} - 44 x^{2} + 49 x - 15 = (2 x - 3) (3 x - 5) (2 x - 1)$ $12x^3-44x^2+49x-15 = (2x-3)(3x-5)(2x-1)$

Explicação:

$f (x) = 12 x^{3} - 44 x^{2} + 49 x - 15$ $f(x) = 12x^3-44x^2+49x-15$

Pelo teorema das raízes racionais, qualquer racional zero de $f (x)$ $f(x)$ é expressável na forma $\frac{p}{q}$ $p/q$ para números inteiros $p, q$ $p, q$ com $p$ $p$ um divisor do termo constante $- 15$ $-15$ e $q$ $q$ um divisor do coeficiente $12$ $12$ do termo principal.

Além disso, observe que o padrão de sinais de coeficientes de $f (x)$ $f(x)$ is $+ - + -$ $+ - + -$ com $3$ $3$ sinal muda, enquanto os de $f (- x)$ $f(-x)$ estão no padrão $- - - -$ $- - - -$ com $0$ $0$ assinar alterações. Assim, pela Regra de Sinais de Descartes, $f (x)$ $f(x)$ tem $3$ $3$ or $1$ $1$ zero real positivo e zeros reais negativos.

Daí o único possível racional zeros são:

$\frac{1}{12}, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{5}{12}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, 1, \frac{5}{4}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{5}{2}, 3, 5, 15$ $1/12, 1/6, 1/4, 1/3, 5/12, 1/2, 3/4, 5/6, 1, 5/4, 3/2, 5/3, 5/2, 3, 5, 15$

Poderíamos simplesmente tentar cada um deles, mas se você tiver permissão, podemos acelerar o processo de encontrar os zeros da seguinte maneira:

Olhe para a derivada e descubra onde ela está $0$ $0$ , indicando um valor máximo ou mínimo local ...

$f'(x) = 36x^2-88x+49$

$color(white)(f'(x)) = (6x-22/3)^2-484/9+49$

$color(white)(f'(x)) = (6x-22/3)^2-(sqrt(43)/3)^2$

$color(white)(f'(x)) = (6x-22/3-sqrt(43)/3)(6x-22/3+sqrt(43)/3)$

Portanto, zero em $x = 1/6(22/3+-sqrt(43)/3) = 1/18(22+-sqrt(43))$

$sqrt(43) ~~ 6.5$

Portanto, o máximo e o mínimo locais estão aproximadamente em:

$1/18(22-6.5) = 31/36 ~~ 5/6$ and $1/18(22+6.5) = 19/12 ~~ 3/2$

$f(5/6) = 20/9$

$f(3/2) = 0$

Hmmm - um zero perto de onde esperamos o mínimo. Vejamos a outra possibilidade racional nas proximidades ...

$f(5/3) = 0$

So $x=3/2$ e $x=5/3$ são zeros com fatores correspondentes $(2x-3)$ e $(3x-5)$ .

Observando o coeficiente do termo principal e do termo constante, o fator restante (que deve ser racional) deve ser $(2x-1)$

Assim:

$12x^3-44x^2+49x-15 = (2x-3)(3x-5)(2x-1)$

graph{12x^3-44x^2+49x-15 [-0.448, 2.052, -1.26, 2.49]}

Determine a forma completamente fatorada de f (x) = 12x ^ 3 - 44x ^ 2 + 49x - 15 f(x)=12x3−44x2+49x−15f (x) = 12x ^ 3 - 44x ^ 2 + 49x - 15 ?

Responda:

Explicação:

Determine a forma completamente fatorada de $f (x) = 12 x^{3} - 44 x^{2} + 49 x - 15$ $f (x) = 12x ^ 3 - 44x ^ 2 + 49x - 15$ ?