Determine a forma completamente fatorada de #f (x) = 12x ^ 3 - 44x ^ 2 + 49x - 15 #?

#f(x) = 12x^3-44x^2+49x-15#

Pelo teorema das raízes racionais, qualquer racional zero de #f(x)# é expressável na forma #p/q# para números inteiros #p, q# com #p# um divisor do termo constante #-15# e #q# um divisor do coeficiente #12# do termo principal.

Além disso, observe que o padrão de sinais de coeficientes de #f(x)# is #+ - + -# com #3# sinal muda, enquanto os de #f(-x)# estão no padrão #- - - -# com #0# assinar alterações. Assim, pela Regra de Sinais de Descartes, #f(x)# tem #3# or #1# zero real positivo e zeros reais negativos.

Daí o único possível racional zeros são:

#1/12, 1/6, 1/4, 1/3, 5/12, 1/2, 3/4, 5/6, 1, 5/4, 3/2, 5/3, 5/2, 3, 5, 15#

Poderíamos simplesmente tentar cada um deles, mas se você tiver permissão, podemos acelerar o processo de encontrar os zeros da seguinte maneira:

Olhe para a derivada e descubra onde ela está #0#, indicando um valor máximo ou mínimo local ...

#f'(x) = 36x^2-88x+49#

#color(white)(f'(x)) = (6x-22/3)^2-484/9+49#

#color(white)(f'(x)) = (6x-22/3)^2-(sqrt(43)/3)^2#

#color(white)(f'(x)) = (6x-22/3-sqrt(43)/3)(6x-22/3+sqrt(43)/3)#

Portanto, zero em #x = 1/6(22/3+-sqrt(43)/3) = 1/18(22+-sqrt(43))#

#sqrt(43) ~~ 6.5#

Portanto, o máximo e o mínimo locais estão aproximadamente em:

#1/18(22-6.5) = 31/36 ~~ 5/6# and #1/18(22+6.5) = 19/12 ~~ 3/2#

#f(5/6) = 20/9#

#f(3/2) = 0#

Hmmm - um zero perto de onde esperamos o mínimo. Vejamos a outra possibilidade racional nas proximidades ...

#f(5/3) = 0#

So #x=3/2# e #x=5/3# são zeros com fatores correspondentes #(2x-3)# e #(3x-5)#.

Observando o coeficiente do termo principal e do termo constante, o fator restante (que deve ser racional) deve ser #(2x-1)#

Assim:

#12x^3-44x^2+49x-15 = (2x-3)(3x-5)(2x-1)#

graph{12x^3-44x^2+49x-15 [-0.448, 2.052, -1.26, 2.49]}