O que devo estudar para saber como resolver?

Para a primeira pergunta, conheça seu círculo unitário e ângulos especiais. Aqui está uma imagem:

Então se #costheta = 1#, Em seguida #theta = 0#. portanto #theta != pi/2, (3pi)/2, pi/6, ...#, muitas respostas possíveis.

Para o segundo, você precisa conhecer suas identidades trigonométricas. Aqui está uma imagem daqueles que eu acho mais necessários para aprender.

Podemos simplificar como

#2(2sinthetacostheta) + (1 -(1 - 2sin^2theta))/((tan theta + tan theta)/(1 - tanthetatantheta)#

#4sinthetacostheta + ((2sin^2theta)(1 -tan^2theta))/(2tantheta)#

#4sinthetacostheta + (2sin^2theta - 2sin^2thetatan^2theta)/(2tantheta)#

#4sinthetacostheta+ sin thetacostheta- sin^2thetatantheta#

#5sinthetacostheta - sin^3theta/costheta#

Muitas expressões são canceladas para coisas como #secx# or #tan(2x)# o que é sempre muito bom.

Quanto ao último problema, este exemplo é implausível como #-1 ≤ sin alpha ≤ 1# e #sqrt(32) > 1#. Então eu vou usar #sinalpha = 1/sqrt(32)#. Desde a #cscalpha = 1/sinalpha#, nós podemos ver isso #cscalpha = sqrt(32)#.

Agora, de cima, você pode ver que #1 + cot^2x = csc^2x#.

#1 +cot^2alpha = 32#

#cot^2alpha = 31#

#cotalpha= +-sqrt(31)#

Se eles esclarecerem que #alpha# está no quadrante #1# podemos garantir que será positivo. Da mesma forma, se #alpha# está no quadrante #2# então será negativo. Mas quando não especificado, mantenha o #+-#.

Espero que isso ajude, pergunte se você tiver mais alguma dúvida!