O que devo estudar para saber como resolver?

Para a primeira pergunta, conheça seu círculo unitário e ângulos especiais. Aqui está uma imagem:

Então se $cos θ = 1$ $costheta = 1$ , Em seguida $θ = 0$ $theta = 0$ . portanto $theta != pi/2, (3pi)/2, pi/6, ...$ , muitas respostas possíveis.

Para o segundo, você precisa conhecer suas identidades trigonométricas. Aqui está uma imagem daqueles que eu acho mais necessários para aprender.

Podemos simplificar como

$2(2sinthetacostheta) + (1 -(1 - 2sin^2theta))/((tan theta + tan theta)/(1 - tanthetatantheta)$

$4sinthetacostheta + ((2sin^2theta)(1 -tan^2theta))/(2tantheta)$

$4sinthetacostheta + (2sin^2theta - 2sin^2thetatan^2theta)/(2tantheta)$

$4sinthetacostheta+ sin thetacostheta- sin^2thetatantheta$

$5sinthetacostheta - sin^3theta/costheta$

Muitas expressões são canceladas para coisas como $secx$ or $tan(2x)$ o que é sempre muito bom.

Quanto ao último problema, este exemplo é implausível como $-1 ≤ sin alpha ≤ 1$ e $sqrt(32) > 1$ . Então eu vou usar $sinalpha = 1/sqrt(32)$ . Desde a $cscalpha = 1/sinalpha$ , nós podemos ver isso $cscalpha = sqrt(32)$ .

Agora, de cima, você pode ver que $1 + cot^2x = csc^2x$ .

$1 +cot^2alpha = 32$

$cot^2alpha = 31$

$cotalpha= +-sqrt(31)$

Se eles esclarecerem que $alpha$ está no quadrante $1$ podemos garantir que será positivo. Da mesma forma, se $alpha$ está no quadrante $2$ então será negativo. Mas quando não especificado, mantenha o $+-$ .

Espero que isso ajude, pergunte se você tiver mais alguma dúvida!