O que é uma função contínua por partes?

Observe que os pontos de descontinuidade de uma função contínua por partes não precisam ser descontinuidades removíveis. Ou seja, não exigimos que a função possa ser tornada contínua, redefinindo-a nesses pontos. É suficiente que, se excluirmos esses pontos do domínio, a função seja contínua no domínio restrito.

Por exemplo, considere a função:

#s(x) = { (-1, "if x < 0"), (0, "if x = 0"), (1, "if x > 0") :}#

gráfico {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0.001) = 0 [-5, 5, -2.5, 2.5]}

Isso é contínuo para todos #x in RR# exceto #x = 0#

A descontinuidade em #x=0# não é removível. Não podemos redefinir #s(x)# nesse ponto e obtenha uma função contínua.

At #x=0# o gráfico da função 'pula'. Mais formalmente, na linguagem dos limites, encontramos:

#lim_(x->0+) s(x) = 1#

#lim_(x->0-) s(x) = -1#

Portanto, o limite esquerdo e o limite direito discordam entre si e com o valor da função em #x=0#.

Se excluirmos o conjunto finito de descontinuidades do domínio, a função restrita a esse novo domínio será contínua.

No nosso exemplo, a definição de #s(x)# como uma função de #(-oo, 0) uu (0, oo) -> RR# é contínuo.

Se representarmos graficamente #s(x)# restrito a esse domínio, ele ainda parece descontínuo em #0#, mas #0# não faz parte do domínio, então o 'salto' é irrelevante. A qualquer momento, arbitrariamente perto de #0#, podemos escolher um pequeno intervalo aberto em torno do qual a função é (constante e, portanto) contínua.

Um pouco confuso, a função #tan(x)# é considerado contínuo - em vez de contínuo por partes, porque o assíntotas at #x = pi/2 + n pi# são excluídos do domínio.

gráfico {tan (x) [-10.06, 9.94, -4.46, 5.54]}

Enquanto isso, a função dente de serra #f(x) = x - floor(x)# não é considerado contínuo por partes como uma função do #RR# para #RR#, mas é contínuo por partes em qualquer intervalo aberto finito.

gráfico {3 / 5 (abs (sin (x * pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sin (x * pi / 2) ^ 3) / 6 + abs (cos ( x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / abs (tan (x * pi / 2)) + 1 / 2 [-2.56, 2.44, -0.71, 1.79]}