O que significa um ponto de exclamação em matemática?

Responda:

Um ponto de exclamação denota algo chamado fatorial.

Explicação:

A definição formal de $n!$ $n!$ (n fatorial) é o produto de todos os números naturais menores ou iguais a $n$ $n$ . Nos símbolos matemáticos:
$n! = n*(n-1)*(n-2)...$

Confie em mim, é menos confuso do que parece. Digamos que você queria encontrar $5!$ . Você apenas multiplica todos os números menores ou iguais a $5$ até chegar a $1$ :
$5! = 5*4*3*2*1=120$

Or $6!$ :
$6! = 6*5*4*3*2*1=720$

A grande vantagem dos fatoriais é a facilidade com que você pode simplificá-los. Digamos que você tenha o seguinte problema:
Computar $(10!)/(9!)$ .

Com base no que eu disse acima, você pode pensar que precisará multiplicar $10*9*8*7...$ e divida por $9*8*7*6...$ , o que provavelmente levará muito tempo. No entanto, não precisa ser tão difícil. Desde a $10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1$ e $9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1$ , você pode expressar o problema assim:
$(10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)/(9*8*7*6*5*4*3*2*1)$

E dê uma olhada nisso! Os números $1$ através $9$ cancelar:
$(10*cancel9*cancel8*cancel7*cancel6*cancel5*cancel4*cancel3*cancel2*cancel1)/(cancel9*cancel8*cancel7*cancel6*cancel5*cancel4*cancel3*cancel2*cancel1)$

Deixando-nos com $10$ como resultado.

A propósito, $0! = 1$ . Para descobrir o porquê, confira este ligação .

Aplicações de fatoriais
O lugar onde os fatoriais são realmente úteis é a probabilidade. Por exemplo: quantas palavras você pode escrever com as letras $ABCDE$ , sem repetir nenhuma letra? (As palavras neste caso não precisam fazer sentido - você pode ter $AEDCB$ , por exemplo).

Bem, você tem $5$ escolhas para sua primeira letra, $4$ para a sua próxima carta (lembre-se - sem repetições; se você escolheu $A$ para sua primeira letra, você só pode escolher $BCDE$ pelo seu segundo), $3$ para o próximo, $2$ para aquele depois disso, e $1$ para o último. As regras de probabilidade dizem que o número total de palavras é o produto das escolhas:
$underbrace(5)_("choices for first letter")*4*3*2*1$

E quatro é o número de opções para a segunda letra, e assim por diante. Mas espere - nós reconhecemos isso, certo! Está $5!$ :
$5! = 5*4*3*2*1=120$
Então existem $120$ maneiras.

Você também verá os fatoriais sendo usados em permutações e combinações, que também tem a ver com probabilidade. O símbolo para permutações é $"_nP_r$ e o símbolo para combinações é $"_nC_r$ (as pessoas usam $((n),(r))$ para combinações na maioria das vezes, e você diz "n escolha r".) As fórmulas para elas são:
$"_nP_r=(n!)/((n-r)!)$
$"_nC_r=(n!)/((n-r)!r!)$

Lá vemos nosso amigo, o fatorial. Uma explicação das permutações e combinações tornaria essa resposta já longa ainda mais longa; portanto, confira este link para permutações e este link para combinações.