O que significa um ponto de exclamação em matemática?

A definição formal de #n!# (n fatorial) é o produto de todos os números naturais menores ou iguais a #n#. Nos símbolos matemáticos:
#n! = n*(n-1)*(n-2)...#

Confie em mim, é menos confuso do que parece. Digamos que você queria encontrar #5!#. Você apenas multiplica todos os números menores ou iguais a #5# até chegar a #1#:
#5! = 5*4*3*2*1=120#

Or #6!#:
#6! = 6*5*4*3*2*1=720#

A grande vantagem dos fatoriais é a facilidade com que você pode simplificá-los. Digamos que você tenha o seguinte problema:
Computar #(10!)/(9!)#.

Com base no que eu disse acima, você pode pensar que precisará multiplicar #10*9*8*7...# e divida por #9*8*7*6...#, o que provavelmente levará muito tempo. No entanto, não precisa ser tão difícil. Desde a #10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1#e #9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1#, você pode expressar o problema assim:
#(10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)/(9*8*7*6*5*4*3*2*1)#

E dê uma olhada nisso! Os números #1# através #9# cancelar:
#(10*cancel9*cancel8*cancel7*cancel6*cancel5*cancel4*cancel3*cancel2*cancel1)/(cancel9*cancel8*cancel7*cancel6*cancel5*cancel4*cancel3*cancel2*cancel1)#

Deixando-nos com #10# como resultado.

A propósito, #0! = 1#. Para descobrir o porquê, confira este ligação .

Aplicações de fatoriais
O lugar onde os fatoriais são realmente úteis é a probabilidade. Por exemplo: quantas palavras você pode escrever com as letras #ABCDE#, sem repetir nenhuma letra? (As palavras neste caso não precisam fazer sentido - você pode ter #AEDCB#, por exemplo).

Bem, você tem #5# escolhas para sua primeira letra, #4# para a sua próxima carta (lembre-se - sem repetições; se você escolheu #A# para sua primeira letra, você só pode escolher #BCDE# pelo seu segundo), #3# para o próximo, #2# para aquele depois disso, e #1# para o último. As regras de probabilidade dizem que o número total de palavras é o produto das escolhas:
#underbrace(5)_("choices for first letter")*4*3*2*1#

E quatro é o número de opções para a segunda letra, e assim por diante. Mas espere - nós reconhecemos isso, certo! Está #5!#:
#5! = 5*4*3*2*1=120#
Então existem #120# maneiras.

Você também verá os fatoriais sendo usados ​​em permutações e combinações, que também tem a ver com probabilidade. O símbolo para permutações é #"_nP_r#e o símbolo para combinações é #"_nC_r# (as pessoas usam #((n),(r))# para combinações na maioria das vezes, e você diz "n escolha r".) As fórmulas para elas são:
#"_nP_r=(n!)/((n-r)!)#
#"_nC_r=(n!)/((n-r)!r!)#

Lá vemos nosso amigo, o fatorial. Uma explicação das permutações e combinações tornaria essa resposta já longa ainda mais longa; portanto, confira este link para permutações e este link para combinações.