Para a função de onda atômica de hidrogênio $2 s$ $2s$ dada por $ψ = \frac{1}{2 \sqrt{2 π}} \sqrt{\frac{1}{a_{0}}} (2 - \frac{r}{a_{0}}) e_{0}^{- r / 2 a_{0}}$ $psi = 1 / (2sqrt (2pi)) sqrt (1 / a_0) (2 - r / a_0) e ^ (- r // 2a_0)$ , a que distância radial longe do núcleo não podem ser encontrados elétrons?

Responda:

$r_{0} = 2 \cdot a_{0}$ $r_0 = 2 * a_0$

Explicação:

A chave para esse problema está no que caracteriza uma nó radial.

Basicamente, o função de onda, $Ψ (x)$ $Psi(x)$ , é simplesmente uma função matemática usada para descrever um objeto quântico.

A função de onda que descreve um elétron em um átomo é na verdade um produto entre o função de onda radial, o que é de seu interesse e o função de onda angular.

O função de onda radial depende apenas da distância do núcleo, $r$ $r$ .

Agora, uma nó ocorre quando uma função de onda muda sinais, ou seja, quando passa pelo zero. UMA nó radial ocorre quando um função de onda radial passa por zero.

O importante a lembrar sobre os nós é que um elétron tem probabilidade zero de estar localizado em um nó. A probabilidade de um elétron estar localizado em um ponto específico é dada pela quadrado do valor absoluto da função de onda, ${| Ψ (x) |}^{2}$ $|Psi(x)|^2$ .

Como você tem probabilidade zero de localizar um elétron em um nó, você pode dizer que possui

${| Ψ (x) |}^{2} = 0 \to$ $color(blue)(|Psi(x)|^2 = 0) ->$ this is true at nodes

Então, você recebe a função de onda de um 2s-orbital

$Ψ_{2 s} = \frac{1}{2 \sqrt{2 π}} \cdot \sqrt{\frac{1}{a_{0}}} \cdot (2 - \frac{r}{a_{0}}) \cdot e^{- \frac{r}{2 a_{0}}}$ $Psi_(2s) = 1/(2sqrt(2pi)) * sqrt(1/a_0) * (2 - r/a_0) * e^(-r/(2a_0))$

e disse que em $r = r_{0}$ $r = r_0$ , a nó radial é formado. Desde o início, isso indica que você tem

${| Ψ_{2 s} |}_{2 s}^{2} = 0$ $|Psi_(2s)|^2 = 0$

Agora, dê uma olhada na função de onda novamente. A única maneira de obter o quadrado de seu valor absoluto igual a zero é se você tiver

$(2 - \frac{r}{a_{0}}) = 0$ $(2 - r/a_0) = 0$

desde

$Psi_(2s) = overbrace(1/(2sqrt(2pi)) * sqrt(1/a_0))^(color(purple)(>0)) * (2 - r/a_0) * overbrace(e^(-r/(2a_0)))^(color(purple)(>0))$

Isso significa que você tem

$2 - r/a_0 = 0 implies r = 2 * a_0$

At $r = r_0$ , Você terá que

$color(green)(r_0 = 2 * a_0)$

Veja como é a função de onda do orbital 2s

Um orbital 2s é caracterizado pelo fato de não ter propriedades direcionais - você obtém exatamente o mesmo valor para sua função de onda independentemente do valor de $r$ .

É por isso que o orbital 2s é de forma esférica.

Além disso, isso indica que a função de onda altera os sinais à mesma distância do núcleo em todas as direções, é por isso que um superfície nodal é formado.

A função de onda de um orbital 2s altera os sinais uma vez, então você só tem um superfície nodal aqui.