Se f(x) é um polinômio tal que f(1) =1, f(2) =2, f(3) =3 e f(4) =16. Você acha o valor de f(5)?

Não pode ser determinado, a menos que suposições tomadas.

Um polinômio de ordem [matemática]n[/math] requer que você tenha [matemática]n+1[/math] conjunto de dados/informações.

Um polinômio linear/line [matemática]y=ax+b[/math] requer dois pontos a serem definidos completamente.

Um polinômio quadrático/parabola [matemática]y=ax^2+bx+c[/math] requer que três pontos sejam definidos completamente.

Então, um polinômio de 4ª ordem irá requerer 5 conjuntos de dados.

Se você considerar [matemática]f(x)[/math] na questão acima como um polinômio de 3ª ordem (suposição), então a questão pode ser resolvida.

Em geral, pode-se assumir [matemática]f(x)[/math] como um polinômio de 4ª ordem e, para resolvê-lo, assumir o coeficiente de maior ordem/coeficiente principal como 1. But, I would like to highlight the beauty of the problem by considering a 3 degree polynomial.

Notice one similarity in the question.

The value of the function (independent variable) is equal to the dependent variable for [math]x=1,2,3[/math].

Now, since [math]f(x) = x[/math] is satisfied by [math]x=1,2,3[/math]

and [math]f(x)[/math] is a 3rd order polynomial (assumption).

Define a function-

[math]g(x) = f(x) - x[/math]

The function [math]g(x)[/math][math] = [/math][math]0[/math] at [math]x=1,2,3[/math]

which means they are the roots of the function.

Hence,

[math]g(x) = f(x) - x = a(x-1)(x-2)(x-3)[/math]

[math]g(4) = f(4) - 4 = a*3![/math]

[math]a=2[/math]

[math]g(5)= f(5) - 5 = 2*4*3*2[/math]

[math]f(5)= 53[/math]

This approach would have been beautiful if [math]f(4)[/math] had been [math]4[/math] then,

[math]g(x) = f(x) - x = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)[/math]

[math]f(5)=5+4!=29[/math]

Uma pergunta semelhante a esta pode ser:

se [matemática]f(x)[/math] é um polinômio de 4ª ordem com coeficiente principal como 1 e [matemática]f(-1) = 1, f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9[/math][matemática].[/math] Find [math]f(5)[/math][math]?[/math]

Off you go.