O meu router WiFi pode ver o que eu vi na aplicação móvel do YouTube?

Com uma configuração out-of-the-box sim SE esse router tinha a funcionalidade de registo de URL, a maioria não tem. Se o seu tiver, então existem passos que você pode tomar para evitar esse rastreamento, como usar uma VPN, servidores proxy anon, etc, etc. O que o registro mostrará é apenas uma conexão para qualquer VPN a que você esteja conectado, mas não revelará nenhum do tráfego contido nele porque está tudo encriptado em um único stream.

A anos atrás eu tinha um roteador Linksys WiFi mais antigo, antes do WiFi ser realmente uma coisa ainda. Esse router tinha um registo de URL que eu podia activar. Quando ativado, qualquer endereço web para o qual o roteador fez uma conexão era gravado. Era óptimo para apanhar colegas de trabalho a fazer pornografia às escondidas enquanto estava a trabalhar. Rápido, vários anos depois tive vários roteadores em vários lugares e nenhum deles tinha um URL logger. Isso não quer dizer que a tecnologia ainda não exista, na verdade eu poderia configurar um PC para agir como gateway de rede e depois conectar o roteador a esse PC para compartilhar a internet e gravar todo tipo de tráfego, mas é bastante impraticável para a casa média, e com tudo se tornando tão amigável, duvido que o "tech-kid" médio possa até mesmo fazê-lo sem ter que aprender um monte de coisas sobre rede.