Qual é a diferença entre modelo AR, modelo ARMA e modelo ARIMA?

Todos estes são abstrações de modelagem para uma série temporal - todos estes são modelos descritivos univariados (e não modelos explicativos de múltiplos regressores explicativos). Um modelo de processo AR (autoregressivo) descreve uma série temporal em termos de seus próprios desfasamentos e o mais simples do modelo de processo AR pode ser escrito como

onde uma série é modelada como seu próprio atraso ponderado e termo de choque aleatório também conhecido como inovação. A utilidade de tal especificação é que a série pode ser prevista com base no seu passado e a persistência na série pode ser modelada como um processo AR está sempre correlacionado. Um processo de média móvel (MA) é onde uma série cronológica é modelada como a soma ponderada dos choques aleatórios (inovações). Como cada uma dessas inovações é distribuída de forma independente e média zero, variância constante independente do tempo; o processo é estacionário. Muito simplisticamente, o processo estacionário tem média e variância constantes, independentes do tempo. Qualquer processo de MA (sendo a soma ponderada das inovações - cada uma das médias zero) é um processo estacionário. Portanto, MA é uma das formas de modelagem de uma série temporal que é estacionária com média não constante zero como:

Em geral, a combinação dos processos AR e MA pode ser útil para modelar uma série temporal que é estacionária. A combinação de AR e MA permite modelar a persistência no fenómeno, bem como a persistência nos choques ao longo do tempo, por exemplo, o PIB trimestral de um país depende do seu valor no último trimestre ou mesmo quatro trimestres antes, devido à continuidade das actividades económicas subjacentes e à ciclicidade e quaisquer choques no PIB, tais como o desequilíbrio comercial devido à desvalorização da moeda face ao cabaz de moedas, (ou a desmonetização feita na Índia) persiste ao longo do tempo. No contexto das vendas a retalho, no mesmo ano, as vendas mais baixas nos dias de semana seguem as vendas mais elevadas no fim-de-semana (dependência do passado) e o choque nas vendas devido à época de Acção de Graças pode persistir bem até ao mês de Dezembro. O choque (inovação) é uma aberração econômica de modelagem de fenômeno estável, embora possa ser atribuído a algum padrão consistente (aqui o Dia de Ação de Graças não permanece mais um choque aleatório se o evento de Ação de Graças for incorporado como uma variável explicativa). A estacionaridade do processo ARMA depende da estacionaridade do processo AR, uma vez que o processo AR é estacionário. A presença de uma raiz unitária para equação de características do sistema torna o sistema não-estacionário.

Uma série temporal é chamada integrada de ordem d se tiver d raízes unitárias. Considere um exemplo de caminhada aleatória que é escrita como:

A caminhada aleatória tem uma unidade raiz para a equação de características escrita acima e, portanto, é um processo integrado de ordem 1. Tomando a primeira diferença de ordem, ou seja, torna a série diferente estacionária (como termo de inovação na RHS tem média 0 e variância constante). As séries temporais económicas da vida real que têm uma média ou tendência não nula são processos integrados e, portanto, processos não estacionários. A estacionaridade é obtida através da utilização de diferentes tipos de estacionamentos. Também, a maioria das séries temporais de dados económicos da vida real podem ser modeladas como séries de Média Móvel Integrada Autoregressiva (ARIMA) onde a integração permite modelar a não-estacionariedade. Os componentes ARMA modelam o efeito do passado e a persistência de choques.

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