É legal tirar screenshots de uma conversa de chat sem o consentimento explícito da outra pessoa?

Como com tudo, depende da sua jurisdição. Se você tem uma pergunta legal, você deve consultar um advogado. Isto não pretende ser um conselho legal.

Em geral, a lei protege as pessoas quando elas dizem coisas com expectativa de privacidade. Alguns estados têm uma regra de consentimento de uma parte, onde a gravação de uma conversa precisa do consentimento de apenas uma das partes envolvidas (presumivelmente, a parte que faz a gravação). Outros estados exigem o consentimento de ambas as partes. É por isso que, quando você liga para uma linha de atendimento ao cliente, eles sempre perguntam se não há problema em gravar a conversa. Eles nem sempre sabem de onde você está ligando, e precisam cobrir o traseiro, só no caso.

No entanto, a lei geralmente traça uma linha entre as conversas e os escritos. As conversas são espontâneas; as pessoas podem facilmente ser tiradas do contexto, falas erradas, etc. Os escritos são mais deliberados. Quando você envia uma carta a alguém, a outra pessoa pode publicar a carta, se ela quiser, porque você criou uma coisa física que você voluntariamente lhe deu.

Como de agora, acredito que a maioria das jurisdições vêem as mensagens de texto como escritas, e não como uma conversa. Portanto, você deve ser capaz de compartilhá-las com quem você quiser, sem obter permissão do remetente.

Obviamente, isto assume que não há outra razão pela qual compartilhar a escrita seria proibido - privilégio advogada/cliente, por exemplo.