O que é uma coordenada generalizada com um exemplo?

o conceito de coordenadas generalizadas e a sua utilidade aparece quando se estuda a mecânica de um sistema restrito

se existem N partículas num sistema e existem k restrições então existe uma rede 3N-k = f graus de liberdade remanescentes

você precisará apenas de 1 coordenada para descrever cada um desses graus de liberdade

so, em vez de ter de resolver para as coordenadas 3N - todas elas não serão independentes (devido a restrições) - você precisa resolver o problema apenas para as coordenadas f independentes

a equação usual da Segunda Lei do movimento não pode ser aplicada

as coordenadas f independentes cuja identidade ainda não é totalmente conhecida são chamadas de 'coordenadas generalizadas'

dada a notação qi

a equação do movimento da Segunda Lei é reformulada de forma que você precisa resolver apenas as equações simultâneas f independentes, chamadas equações de movimento de Lagrange

a identificação física dessas 'coordenadas' é feita dependendo do problema real

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tome o exemplo mais fácil de uma 'partícula livre'

como o nome implica, a Primeira Lei nos diz que ela se moverá em linha reta

você percebe que ela é exemplo de um movimento constrangido

uma partícula geralmente precisaria de três coordenadas independentes x,y,z

se o movimento fosse confinado a um plano - 1 constrangimento - haveria dois graus de liberdade na rede

mas, também dentro do plano, é restrito mover-se ao longo de uma linha reta - mais uma restrição

total de 2 restrições

por isso só resta 1 grau de liberdade - tem liberdade para viajar ao longo da linha reta

i definir minha origem e escolher meu eixo x ao longo desta direção de movimento

esta é minha única coordenada generalizada para o problema atual - a coordenada x

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i am not going into setting up and solving the Lagrange”s equation of motion