As funções descontínuas têm área sob elas, apesar de não serem integráveis? Porquê (ou porque não)?

Funções descontínuas podem ser integráveis, embora nem todas o sejam. Especificamente, para a integração de Riemann (nossa noção básica normal de integrais) uma função deve ser delimitada e definida em toda parte no intervalo de integração e o conjunto de descontinuidades nesse intervalo deve ter a medida de Lebesgue zero. Os conjuntos de pontos com o Lebesgue medem zero incluem finitos muitos pontos, incontáveis infinitos pontos, e certos conjuntos incontáveis também têm o Lebesgue medindo zero, embora outros não. Chamamos funções cujas descontinuidades têm a medida do Lebesgue de zero por método contínuo.

Intuitivamente, podemos relacionar a integrabilidade das funções contínuas por método parcial com a área sob a curva imaginando que cada descontinuidade é "preenchida" com uma linha vertical ligando o valor que a função tem imediatamente antes da descontinuidade ao valor que ela tem imediatamente após a descontinuidade.

De modo semelhante, podemos ver intuitivamente que funções que não são contínuas em nenhum lugar dentro de pelo menos algumas sub-ramos do intervalo de integração não podem ter uma área mensurável sob elas, porque se torna impossível determinar quais partes do espaço estão "sob" a curva em tais sub-ramos. Observe, porém, que eles ainda podem ter alguma área sob eles. Considere, por exemplo, uma função [matemática]f(x)[/math] definida de tal forma que [matemática]f(x) = 2[/math] quando [matemática]x[/math] é racional e [matemática]f(x) = 1[/math] quando [matemática]x[/math] é irracional. Esta função não pode ser integrada. Entretanto, se considerarmos [matemática]f(x)[/math] entre [matemática]x = 0[/math] e [matemática]x = 1[/math], parece claro que toda a área na unidade quadrada [matemática][0,1] \ vezes [0,1][/math] fica "sob" a curva. Assim, funções que não são integráveis ainda podem ter área sob elas - só não é possível determinar exatamente quanto.