Qual é o restante quando (9×99×999×9,999×99,999×...×9,999,999,999,999) é dividido por 17?

Podemos calcular rapidamente as várias repetições [matemática]9[/math]s modulo [matemática]17[/math].

Se tivermos [matemática]k_n\equiv 10^n-1\pmod{17}} [/math] então [matemática]k_{n+1}{n+1}{ /math].

Então se continuarmos multiplicando por [matemática]10[/math] e adicionando [matemática]9[/math], isso me dará as congruências modulo [matemática]17[/math] que precisamos:

[matemática]|quad 10^1-1\equiv 9[/math]

[matemática]|quad 10^2-1\equiv 99\equiv -3[/math]

[matemática]|quad 10^3-1\equiv -21\equiv -4[/math]

[matemática]|quad 10^4-1\equiv -31\equiv 3[/math]

[matemática]|quad 10^5-1\equiv 39\equiv 5[/math]

[matemática]|quad 10^6-1\equiv 59\equiv 8[/math]

[matemática]|quad 10^7-1\equiv 89\equiv 4[/math]

[matemática]|quad 10^8-1\equiv 49\equiv -2[/math]

[matemática]|quad 10^9-1\equiv -11\equiv 6[/math]

[matemática]\quad 10^{10}-1\equiv 69\equiv 1[/math]

A nossa resposta é simplesmente o produto de todos estes modulo [matemática]17[/math].

[math]\quad -(9\cdot 3\cdot 4)(3\cdot 5\cdot 8)(4\cdot 2\cdot 6)[/math]

[math]\quad\quad=\ -(108\cdot 120\cdot 48)\ \equiv\ -(6\cdot 1\cdot (-3))\ =\ 18\ \equiv\ 1[/math]

So the answer is that the remainder is [math]1[/math].