A soma de 20 termos de um GP é 244 vezes a soma dos seus primeiros 10 termos. Qual é a proporção comum?

Deixe [matemática]a_{n}[/math] , [matemática]r[/math] , [matemática]S_{n}[/math] denotar o n-termo , razão comum , soma de n-termos da Progressão Geométrica dada respectivamente.

Então [matemática]S_{20} = 244×S_{10}[/math]

Então [matemática]a_{1}×\frac{1-r^{20}}{1-r} = 244×a_{1}×\frac{1-r^{10}}{1-r}[/math]

Thus [matemática]r^{20}-1=244r^{10}-244[/math]

Or [matemática]r^{20}-244r^{10}+243=0[/math]

Let [matemática]r^{10}=t[/math]

Então [matemática]t^{2}-244t+243=0[/math]

Or[matemática] (t-1)(t-243)=0[/math]

Então [matemática]r^{10}=t=243[/math] ou [matemática]1[/math]

Thus [matemática]r = √3[/math] ou [matemática]1[/math]

But [matemática]r≠1[/math] já que se [matemática]r=1[/math] então a fórmula para [matemática]S_{n}[/math] usada aqui não permaneceria a mesma.

Então [matemática]r=√3[/math].

Now considering the case if [math]r=1[/math]

Then [math]S_{n}=n×a_{1}[/math]

Implies [math]20a_{1} = 244×10a_{1}[/math]

This gives [math]a_{1}=0[/math] which won't be considered a Geometric Progression since all the terms would be 0 and the common ratio {ratio of two consecutive terms} would be undefined.

Hence, the only answer to this question is [math]r=√3[/math].

“Cheers”………….^_^ ……..- SR1VASTAVA