O número m=999...9 é composto por 999 noves. Qual é a soma dos dígitos de m^2?

Bem, 999...9 (999 noves) é uma expressão bastante pesada. Vamos colocá-la de uma forma mais razoável: [matemática]10^{999}-1[/math].

Isto tem o benefício adicional de ser muito mais fácil de ajustar.

Se o fizermos, obtemos [matemática](10^{999}-1)^2=10^{1998}-2\ vezes 10^{999}+1[/math].

Como podemos lidar com um número assim?

P>Bem, podemos considerar apenas os 2 primeiros termos: [math]10^{1998}-2\times 10^{999}=10^{999}(10^{999}-2)[/math]. Não é tão difícil ver que este número (menos os zeros trailing) é 999...998, com (999 dígitos, significando que 998 deles são noves).

Com os zeros trailing, ele se torna 999...998000...000 com 999 zeros. Se incluirmos o último, ele se torna 999...998000...001.

Contagem de dígitos: 998 noves, um oito, e um, para uma soma total de [matemática]998\ vezes 9 + 8 + 1 = 8991[/math].

Alternately, você poderia tentar valores menores e encontrar um padrão.

Com 1 nove, você obtém [matemática]9^2=81[/math], cujos dígitos se somam a 9. Com 2 noves, você obtém 9801, com uma soma de 18 dígitos. Com 3 noves, você recebe 998001, com uma soma de 27, e com 4, você recebe 99980001, com uma soma de 36. Notando algum padrão aqui?