Corujasabia
Qual é o número de soluções de e1+e2+e3=13 onde e1, e2 e e3 são inteiros não negativos tais que 3=
Para uma solução geral para este tipo de problema: Esta pergunta é equivalente à pergunta "qual é o coeficiente de [matemática]x^{13}[/math] no polinômio [matemática]f(x) = (x^3+x^4+x^5)(x^4+x^5+x^6)(x^5+x^6+x^7)[/math]
Neste caso, it's é simples para obter o resultado por inspeção. As únicas maneiras de obter [matemática]x^{13}[/math] são [matemática]x^3\ vezes x^4 ^6, x^3\ vezes x^5 ^5, x^4\ vezes x^4\ vezes x^5[/math] - então a resposta é 3. Em situações mais complicadas, nós reescreveríamos o produto como:
[matemática] f(x) = {x^6-x^3}{x-1}{x-1}{x-1}{x^7-x^4}{x-1}{x-1}{x^8-x^5}{x-1}{x-1}{x-1}{math]
p>[matemática] f(x) = {x^{12}(1-x^3)^3}{(1-x)^3} = x^{12}(1+x+x^2)^3[/math] E claramente o coeficiente de [matemática]x[/math] em [matemática](1+x+x^2)^3[/math] é 3.
Podemos também expandir
[matemática]^[matemática]^{-3} = ^sum_{i=0}^{\i} ^{\i0} \binom{i+2}{2} x^i[/math]
E expanda:
p>[matemática]\displaystyle (1-x^3)^{3} = 1-3x^3+3x^6-x^9[/math] Para expressar o acima como:
[matemática]{\i} f(x) = {esquerda(x^{12}-3x^{15}+3x^{18}-x^{21}{direita) {esquerda({sum_{i=0}^{\i+2}{2} x^i {direita)[/math]
A partir disto pode encontrar o número de combinações para qualquer número - por exemplo, podemos ver que como nós geramos [matemática]x^{15}[/math] multiplicando [matemática]x^{12}[/math] por [matemática]x^3[/math], e [matemática]x^{15}[/math] por 11, a soma 15 pode ser feita de 7 maneiras:
[matemática]\\displaystyle \binom{3+2}{2}-3\binom{0+2}{2} = 10-3=7[/math]
Claramente isto é um exagero para este exemplo, mas você pode imaginar se você estivesse procurando o número de combinações possíveis de um número maior, com uma gama maior de opções, esta técnica seria muito útil!
Para este exemplo específico, a maneira mais fácil de encontrar a solução é substituir [matemática]a_1=e_1-3, a_2=e_2-4, a_3=e_3-5[/math] então estamos procurando por soluções inteiras positivas para [matemática]a_1+a_2+a_3 =1[/math] - e claramente existem apenas 3 possibilidades [matemática](1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)[/math]
Para uma solução geral para este tipo de problema: Esta pergunta é equivalente à pergunta "qual é o coeficiente de [matemática]x^{13}[/math] no polinômio [matemática]f(x) = (x^3+x^4+x^5)(x^4+x^5+x^6)(x^5+x^6+x^7)[/math]
Neste caso, it's é simples para obter o resultado por inspeção. As únicas maneiras de obter [matemática]x^{13}[/math] são [matemática]x^3\ vezes x^4 ^6, x^3\ vezes x^5 ^5, x^4\ vezes x^4\ vezes x^5[/math] - então a resposta é 3. Em situações mais complicadas, nós reescreveríamos o produto como:
[matemática] f(x) = {x^6-x^3}{x-1}{x-1}{x-1}{x^7-x^4}{x-1}{x-1}{x^8-x^5}{x-1}{x-1}{x-1}{math]
p>[matemática] f(x) = {x^{12}(1-x^3)^3}{(1-x)^3} = x^{12}(1+x+x^2)^3[/math]E claramente o coeficiente de [matemática]x[/math] em [matemática](1+x+x^2)^3[/math] é 3.
Podemos também expandir
[matemática]^[matemática]^{-3} = ^sum_{i=0}^{\i} ^{\i0} \binom{i+2}{2} x^i[/math]
E expanda:
p>[matemática]\displaystyle (1-x^3)^{3} = 1-3x^3+3x^6-x^9[/math]Para expressar o acima como:
[matemática]{\i} f(x) = {esquerda(x^{12}-3x^{15}+3x^{18}-x^{21}{direita) {esquerda({sum_{i=0}^{\i+2}{2} x^i {direita)[/math]
A partir disto pode encontrar o número de combinações para qualquer número - por exemplo, podemos ver que como nós geramos [matemática]x^{15}[/math] multiplicando [matemática]x^{12}[/math] por [matemática]x^3[/math], e [matemática]x^{15}[/math] por 11, a soma 15 pode ser feita de 7 maneiras:
[matemática]\\displaystyle \binom{3+2}{2}-3\binom{0+2}{2} = 10-3=7[/math]
Claramente isto é um exagero para este exemplo, mas você pode imaginar se você estivesse procurando o número de combinações possíveis de um número maior, com uma gama maior de opções, esta técnica seria muito útil!
Para este exemplo específico, a maneira mais fácil de encontrar a solução é substituir [matemática]a_1=e_1-3, a_2=e_2-4, a_3=e_3-5[/math] então estamos procurando por soluções inteiras positivas para [matemática]a_1+a_2+a_3 =1[/math] - e claramente existem apenas 3 possibilidades [matemática](1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)[/math]
