Qual é o maior factorial que podemos calcular? E porque é que o assistente de voz do Google deixa de calcular acima dos 170.629?

Qual é o fatorial mais alto que podemos calcular? E porque é que o assistente de voz do Google's pára de calcular acima de 170.629?

Dado tempo e memória suficientes, podemos calcular qualquer factorial que quisermos.

No entanto...

Factoriais crescem rapidamente. [matemática]170![/math] tem mais de 300 dígitos. O assistente de voz do Google calcula grandes fatores como esse usando "números de ponto flutuante duplo", que só pode representar números até cerca de [matemática]2^{1023}[/math] (e mesmo assim com perda de precisão). Desde [matemática]170! < 2^{1023} < 171![/math], o assistente de voz do Google não pode representar números tão grandes como [matemática]171![/math]. Mesmo assim, não está representando exatamente. Ele não pode dar a todos 306 dígitos.

Wolfram Alpha, no entanto, pode. Se você for para 171! - Wolfram|Alpha, Wolfram Alpha dará a você todos 310 dígitos de [matemática]171![/math]. Vá para 500! - Wolfram|Alpha e você terá (após apertar um botão chamado "mais dígitos" algumas vezes) todos os dígitos disso. Eu até consegui convencer a Wolfram Alpha a me dar todos os 16326 dígitos de [matemática]5000![/math]. Eu não sei até que altura a Wolfram Alpha irá; mesmo [matemática]5000![/math] tentou a minha paciência. Eu só pedi ao meu laptop para computar e imprimir [matemática]20000![/math], e ele fez isso em talvez 15 segundos.

P>Em termos gerais, o número de dígitos em [matemática]n![/math] é [matemática]n\log_{10}frac{n}{e}[/math]. Uma máquina desktop moderna, com 4 GB de memória, se dedicada à tarefa, pode (lentamente) manipular números com 4 bilhões de dígitos, números na faixa de cerca de [matemática]480000000![/math]. Técnicas mais sofisticadas, e mais memória/espaço de armazenamento, permitiriam aos computadores ir muito mais alto.

O assistente de voz do Google calculou [matemática]170.629![/math] - o que, tecnicamente, é indefinido - porque usou uma função relacionada [matemática]\Gamma(x)[/math], que é definida para todos os números complexos que não sejam números inteiros negativos. Ela tem a propriedade que [matemática]\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)[/math] para todos [matemática]x[/math], e [matemática]\Gamma(n+1) = n![/math] para inteiros positivos [matemática]n[/math]. Quando você pediu [matemática]170.629![/math], ele deu o resultado para [matemática]\Gamma(171.629)[/math] em vez disso.