Como saber qual é a torção de uma curva plana

Na geometria diferencial elementar das curvas em três dimensões, a torção de uma curva mede a sua torção para fora do plano de curvatura. Em conjunto, a curvatura e a torção de uma curva espacial são análogas à curvatura de uma curva plana. Por exemplo, são coeficientes no sistema de equação diferencial para o quadro de Frenet dado pelas fórmulas Frenet-serret.

Let C ser uma curva espacial parametrizada pelo comprimento do arco [matemática] [/math] e com a unidade vetor tangente t. Se a curvatura [matemática] do C num determinado ponto não for zero, então o vector normal principal e o vector binormal nesse ponto são os vectores unitários

[matemática] estilo de visualização {\i} ={\i1}mathbf {n} ={\i}frac {\i} '{\i},{\i},{\i}quad {\i}mathbf {b} ={\i}mathbf {t} \vezes matemathbf }[/math]

onde o prime denota a derivada do vetor em relação ao parâmetro [matemática]{\an8}[/math]. A torção [matemática] [/math] mede a velocidade de rotação do vetor binormal no ponto dado. É encontrado na equação

[matemática]{\i} estilo de exibição {b} '=-tau {\i}mathbf {n} .}[/math]

o que significa

[matemática]{\i} estilo de exibição {\i}tau =-->mathbf {n} \cdot {b} '.}[/math]

Remark: A derivada do vector binormal é perpendicular tanto ao binormal como à tangente, por isso tem de ser proporcional ao vector normal principal. O sinal negativo é simplesmente uma questão de convenção: é um subproduto do desenvolvimento histórico do sujeito.

O raio de torção, muitas vezes denotado por σ, é definido como

[matemática]{\sigma ={\frac {\tau }}.}[/math]

relevância geométrica: A torção [matemática] ao estilo de um display ao estilo de um (s)tau (s)}[/math] mede a rotação do vector binormal. Quanto maior for a torção, mais rápido o vector binormal gira em torno do eixo dado pelo vector tangente (ver ilustrações gráficas). Na figura animada a rotação do vetor binormal é claramente visível nos picos da função de torção.