Se x^4+1/x^4=47, então o que é x^3+1/x^3?

Dado que

[matemática]x^4+\frac{1}{x^4}=47[/math]

[matemática]{x^2+\frac{1}{x^2}{x^2}direita)^2-2=47[/math]

[math]\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2=49[/math]

[math]\sqrt{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2}=\sqrt{49} \(texto{\an8}{x^2}{x^2}}{x^2}{math]

>p>[matemática]{esquerda|x^2+frac{1}{x^2}{direita|=7[/math]

[Matemática]x^2+frac{1}{x^2}=7quad(esquerda(x^2+frac{1}porque x^2+frac{1}x^2}ge2 {x^2}forall {x0}ne0}direita)[/math]

p>[Matemática]{x+frac{1}{xdireita)^2-2=7[/math]

[matemática]|esquerda(x+frac{1}{x}{x}direita)^2=9[/math]

[matemática]|sqrt{esquerda(x+frac{1}{x}direita)^2}=sqrt9 ^quad (texto{levando raízes quadradas de ambos os lados})[/math]

[math]\left|x+\frac{1}{x}\right|=3[/math]

[math]x+\frac{1}{x}=\pm 3[/math]

[math]\therefore x^3+\frac{1}{x^3}[/math]

[math]=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right) [/math]

[math]=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-3\right) [/math]

[math]=\left(\pm3\right)\left(\left(\pm3\right)^2-3\right) [/math]

[math]=(\pm3)(6)[/math]

[math]=\pm18[/math]

[math]\boxed{\Large{x^3+\frac{1}{x^3}=\pm18}} [/math]