Qual é a maior potência de 3 em 150?

Eu acho que aqui podemos apenas configurar uma desigualdade e manipular cada lado dela também no mesmo grau para chegar à resposta.

3^x <= 150

Temos de usar um sistema base 3 para chegar à resposta com log(base 3).

Então converter 150 na base 10 para um número base 3, não é muito difícil.

Num sistema base 3, os 1's representam 3^0, os 10's representam 3^1, os 100's representam 3^2, os 1000's representam 3^3 e assim por diante.

150 / a maior potência de três que ainda é inferior a 150. Isto é 3^4 = 81.

Então temos 81 = 3^4 = 10000 (base 3).

150 - 81 = 69.

Agora repita isto com o balanço: O múltiplo mais alto de 3 mas ainda inferior a 69 é 27, que é 3^3, mas há dois deles que vão caber, sem ultrapassar 69(porque há 3 de cada potência antes de chegares à próxima potência de três, tal como há dez de cada potência de dez antes de chegares à próxima potência de dez). Você tem que dividir cada vez pelo maior múltiplo do poder primeiro, e depois ver quantas vezes esse poder vai caber no restante. Mas ele nunca irá ultrapassar o número em si, a menos que você tenha cometido um erro.

Então agora temos 1 * 3^4, e 2 * 3^3 que são como 10.000 mais 2000 na base três, ou 12.000 até agora. Mas temos de ir até ao fim até não haver nenhum resto

Então, 2 vezes 3^3 = 54. e subtraímos isso do nosso antigo resto, 69, para obter 15. O nosso próximo concorrente é 3^2 = 9 que vai para 15 apenas uma vez, deixando 6.

Então temos 1 * 3^4 + 2*3^3 + 1*3^2 + o nosso último remanescente de 6. 6 vai para 3^1 duas vezes exactamente, deixando 0 para o nosso slot. Cada sistema de números termina com uma coluna de um que contém um igual à base da potência de zero que é um, vezes o número na coluna de um. Na base três não haverá três, porque cada fator de três é 10. OU 100. OU 1000. Like in base ten there is no digit “ten”, it is noted by the 1 and a 0.

So, we have 150 base ten equals 12120 in base 3.

And from log(base 3)[150] we substitute to get log[12120]

log[10^x] <= log[12120]

x * log[10] <= log[12120]

x <= log[12120]/log[10]

x <= log[12120 - 10]

x <= log[12110]

log[12110] is between log[10000] and log[100000]

log[10,000] = 4. Log[100,000] = 5

log[10,000] < log[12110] < log[100,000]

This can be restated as log[10,000] <= x < log[100,000]

The highest power of three that would go into our 150 is 4, because 3^ 4 = 81, and 3^5 = 243.

Our answer should be 81. I am sure there are easier ways to do this, but hopefully this helps.