Quem pode provar [matemática]1 = -1[/math]?

Na primeira palestra que tive como aluno na minha universidade local, o professor nos cumprimentou com o seguinte argumento. Tivemos que descobrir o que estava errado com ele. Na sequência, [matemática]{x}[/math] denota a raiz quadrada principal da [matemática]x[/math].

[matemática]1==sqrt{1}=sqrt{-1}==sqrt{-1}{-1}=sqrt{-1}=i^2=-1[/math]

Então [matemática]1=-1[/math].

p>P>Podíamos'não víamos qual era o erro. O conferencista então nos disse que a regra [matemática]{ab]sqrt{ab}=sqrt{a}{b}[/math][/math] não funciona se ambos [matemática]a[/math] e [matemática]b[/math] forem negativos.

O meu amor, intriga e sentido de descoberta pelo belo tema da matemática, tornou-se monumental desde aquela palestra, ao ponto de decidir seguir uma carreira na matemática.

EDIT: Obrigado a todos pelos vossos comentários. Quem disse que a matemática pode'não ser argumentativa? Veja a seção de comentários deste post e você'será desmentido dessa noção.

O que segue é uma explicação técnica para o porquê do argumento acima que [matemática]1=-1[/math] está errado (no campo dos números complexos). Sinta-se livre para pular isso se você não'não quer os aspectos técnicos.

P>Primeiro de tudo, ninguém pode argumentar contra as igualdades [matemática]1=\sqrt{1}=\sqrt{-1\times -1}[/math]. Em segundo lugar, ninguém pode argumentar contra as igualdades [matemática]|sqrt{-1}{-1}=i^2=-1[/math]. Estas duas igualdades são verdadeiras. Assim, o problema deve ser a afirmação de que [matemática]sqrt{-1=1}vezesqrt{-1}=1=vezesqrt{-1}[/math]. Na verdade, isto é falso.

>p>Aqui precisamos do conceito da raiz quadrada principal. A raiz quadrada principal de um número real não negativo [matemática]c[/math] é a raiz não assinada (positiva) da equação [matemática]x^2-c=0[/math]. Infelizmente, no campo dos números complexos, não existe o conceito de positivo e negativo. Não só isso: não há conceito de se um número é maior do que outro. Tecnicamente, o campo dos números complexos não é um campo ordenado. Uma condição necessária para que um campo seja ordenado é que o número zero não possa ser escrito como a soma de dois quadrados (ou, equivalentemente, que o quadrado de cada número no campo seja não negativo). Isto é verdade no campo de números reais (e, de fato, este campo está ordenado) mas não é verdade para o campo de números complexos, porque, por exemplo, [matemática]i^2+1^2=0[/math].

p>Por causa disto, não há raiz quadrada principal de [matemática]-1[/math], e o argumento fivela. É por isso que o meu professor nos disse que [matemática]{ab}===sqrt{a}sqrt{b}[/math] funciona apenas para positivo (na verdade, não negativo) [matemática]a[/math] e [matemática]b[/math]: em tais casos, a raiz quadrada principal de [matemática]a[/math] e [matemática]b[/math] existe, então tudo está bem. Para negativo [matemática]a[/math] ou [matemática]b[/math], a raiz quadrada principal não existe.