O ARM é um microprocessador ou microcontrolador?

Neither.

ARM é uma arquitetura de CPU (mais precisa, uma família de arquiteturas de CPU relacionadas). Se você colocar essa CPU (ou qualquer outra) num chip por si só, você tem um microprocessador (como eles faziam nas antigas máquinas Acorn). Se você o combinar com ROM (Flash), RAM e periféricos em um chip, você tem um microcontrolador (exemplo: LPC2148).

As coisas podem ficar um pouco confusas quando você combina a CPU com ROM e RAM, mas também fornece os dados, endereço e linhas de controle nos pinos, para que a memória externa possa ser adicionada. Tal chip pode ser usado tanto no modo microcontrolador, como no modo microprocessador. (exemplo: LPC2478)

Agora sistemas menores (até 0.5Mb Flash, alguns 10's Kb RAM) estão disponíveis como microcontrolador. Sistemas maiores (tipicamente rodando um Linux ou algo similar) são tipicamente compostos de um microprocessador com RAM externa. (ROM pode ser externo também, ou um pequeno boot-rom no chip + um cartão SD ou similar). Exemplos: O Raspberry Pi e outras pequenas placas Linux, o ESP8266, ou abrir qualquer telefone móvel, set-top box, modem/router, etc.

Funny note: Micro-controladores tendem a ser curtos na RAM, daí a execução a partir do Flash, o que muitas vezes limita a sua velocidade. Microprocessadores geralmente têm muita RAM, têm um Flash mais lento, a partir do qual o código e os dados são carregados na RAM para execução.

ARM é uma empresa que licencia núcleos de CPU. O núcleo ARM pode ser, e é, usado por muitas empresas para fazer tanto micro-controladores quanto micro-processadores.

ARM é o núcleo tanto para micro-processador quanto para micro-controlador. O ARM é baseado na arquitetura da CPU, então nós geralmente o chamamos de microprocessador quando colocado em um chip, se o ARM for combinado com memórias (RAM e ROM) em um único chip, podemos chamá-lo de micro-controlador, ele tem memória limitada, mas quando chegar à RAM e ROM do micro-processador estão conectados externamente a velocidade será mais.

Tecnicamente, o ARM é um micro-processador, ou, mais especificamente, uma arquitetura de micro-processador. A coisa a entender, entretanto, é que ele não't representa um microprocessador físico, mas o projeto que permite construir um.

Então, não é nem Micro-controlador ou Micro-processador, mas também é ambos ao mesmo tempo desde que a empresa que o usa, usa sua capacidade :)