Qual é a velocidade máxima que um foguete químico pode atingir?

Todos os foguetes que transportam seu próprio combustível têm uma velocidade que é governada pela equação do foguete Tsiolkovsky, que normalmente se parece:

[matemática]|Delta v = I_{sp} {m_0}{m_1}{m_direita}[/math]

p> Onde [matemática]|Delta v[/math] é a mudança de velocidade induzida após a queima de combustível com um impulso específico [matemática]I_{sp}[/math], que reduz a massa do foguete de [matemática]m_0[/math] para [matemática]m_1[/math]

No entanto.

Desde que vamos para a velocidade máxima, vamos usar a versão relativista - para o caso de nos desviarmos da velocidade da luz!

[matemática]\Delta V _{{relativista} = c \tanh \tanh \tanh \tan( \frac{I_{sp}}}{c} \ln left(|frac{m_0}{m_1}{m_1}right) { /math]

(Podemos ver que se os bits dentro da [matemática]}tanh[/math] são suficientemente pequenos, então voltamos à primeira equação)

p>Ok.

Well, agora precisamos de alguns números para ligar!

Um foguete químico tem um máximo [matemática]I_{sp}[/math] de algures por aí [matemática]5000 ms^{-1}[/math], de acordo com um gráfico nesta página.

P>Tambem precisamos de saber o quão grande é a coisa que estamos a acelerar.

Por exemplo, digamos que queremos lançar o Módulo Lunar das missões Apollo - que tinha uma massa de [matemática]15,000kg[/math]

Por isso, a velocidade máxima atingível (em relação a um observador em repouso a [matemática]t=0[/math]) é:

[matemática]\\ {v_{max} = 299792458 \tanh \ esquerda( \frac{5000}{299792458} \vezes à esquerda( 15000 + m_fuel}{15000}{15000} direito)}[/math]

O que significa, fundamentalmente, que você está limitado pela massa de combustível que você está disposto a dar ao seu foguete.

Se você der a si mesmo partes iguais de combustível para carga (isto é, [matemática]m_{combustível} = 15.000kg[/math]), então a velocidade máxima que você pode chegar é:

[matemática]v_{combustível = carga útil} = 3465,7 ms^{-1}[/math]

Hmm. Isso não é particularmente rápido, no grande esquema das coisas.

ADD MORE FUEL!

P>Demos 10x tanto combustível como carga útil - [matemática]m_{combustível} - 150.000kg[/math]

[matemática]v_{10\times} = 11989,5 ms^{-1}[/math]

OK! Isso é em torno da velocidade de fuga!

mas.... multiplicamos o nosso combustível por 10, e a nossa velocidade só aumentou por um factor ou 3....

>p> Este tema continua - adicionar mais combustível aumenta a velocidade máxima, mas por cada vez menos.

Se tivermos 10.000 vezes mais combustível do que a carga útil, então só temos:

[matemática]v_{10.000 \times} = 46.052 ms^{-1}[/math] - apenas 4 vezes mais rápido que [matemática]10\times[/math]!

ADD MORE FUEL

La vamos ao topo.

Quanto combustível existe no nosso planeta?

Do que consigo encontrar, temos cerca de [matemática]182 ^^^ vezes 10^{12}kg[/math] de reservas de petróleo - com base em estimativas de volume das reservas de petróleo, multiplicadas pela densidade.

P>Demos usar tudo isso como combustível.

This gives:

[math]v_{all~oil~on~Earth} = 116,096 ms^{-1}[/math]

Hmm.

That’s still only 0.038% the speed of light.

ADD MORE FUEL

Let’s use the entire mass of the planet as fuel! [math]m_{fuel} = 6 \times 10^{24}kg[/math]

[math]v_{Earth} = 237,122 ms^{-1}[/math]

Goddammit! Still less than 1% the speed of light - and we used the entire mass of our planet!

ADD MORE FUEL

Chuck the entire solar system into the fuel tank! [math]m_{system} \approx m_{sun} = 2 \times 10^{30}[/math]

[math]v_{sun} = 300,774 ms^{-1}[/math]

Aha!

Using the entire solar system as chemical fuel, we can breach 0.1% the speed of light!

Wait? Still not satisfied?

Ugh - ok, one more time.

ADD MORE FUEL

Our universe has a mass of approximately [math]10^{53}kg[/math]

[math]v_{entire~universe} = 562,105 ms^{-1}[/math]

[math]~~~[/math]

[math]~~~[/math]

[math]~~~~[/math]

Yeah.

>

É isso.

[matemática]~0.2 \%[/math] a velocidade da luz.

Para o minúsculo aterrador lunar.

Utilizando toda a massa do universo como combustível.

Foi realmente um pouco extremo usando a versão relativista das equações! Nunca tocámos sequer nas velocidades relativistas!

A lição aqui é que os foguetes químicos são horríveis.

As suas proporções [matemática]I_{sp}/c[/math] são simplesmente horríveis - uma fração de uma fração de um por cento.

Se compararmos isto com algo como um motor de fusão nuclear - que tem [matemática]I_{sp}/c = 0.119[/math], ou mesmo uma reacção de aniquilação antimatéria, que tem [matemática]I_{sp}/c = 1[/math], então você pode alcançar velocidades relativísticas relativamente rápidas - e sem usar planetas inteiros de massa!

Outra solução é não levar todo o seu combustível consigo - a iniciativa Starshot propõe o uso de lasers na Terra para acelerar as mini-sondas - o que significa que as próprias sondas não precisam de motores. Ou o proposto Bussard ramjet, que recolhe o combustível do meio interestelar - por isso nem todo o combustível está a ser retido no início. Estes métodos "trapaceiros" têm parâmetros diferentes e, portanto, não estão vinculados a esta equação.