Quais são as aplicações da integração na vida real?

Então a questão é dar exemplos onde uma quantidade é medida diretamente na vida real, e em seguida realmente integrada com, por exemplo, o tempo ou a distância.

Embora existam muitos exemplos de quantidades que poderiam ser calculadas pela integração, existem poucos exemplos onde isso é realmente feito.

E.g. a velocidade de um carro é igual ao tempo integral da sua velocidade. Isto é um facto. Mas até onde eu sei, nenhum fabricante de carros faz isto.

Na verdade, na maioria dos carros o número de rotações das rodas é medido e em seguida multiplicado pela sua circunferência média. A velocidade do carro é derivada do número de rotações das rodas por unidade de tempo, e isso é um processo de diferenciação.

Um método mais preciso é calcular a distância percorrida a partir das medições de localização GPS, como no sistema de orientação do seu carro. Em seguida, a velocidade do carro é encontrada pela diferenciação com o tempo. Ainda não há verdadeira integração envolvida.

Um exemplo onde a verdadeira integração é aplicada é nos medidores de eletricidade analógicos do chamado "tipo Ferraris", nomes após Galileo Ferraris - Wikipedia. Este medidor tem um disco de alumínio girando a uma velocidade variável que é diretamente proporcional à "verdadeira" energia elétrica. O deslocamento angular do disco, que é igual ao tempo integral da velocidade de rotação, é então diretamente proporcional ao tempo integral da energia elétrica, e assim a energia utilizada.

Modernos medidores eletrônicos de eletricidade imitam este processo medindo a potência e integrando-a com o tempo numericamente.