A montagem é diferente entre os Sistemas Operacionais?

A linguagem de montagem é uma forma legível pelo ser humano do código da máquina. Portanto, não depende do sistema operacional, mas do processador (CPU) utilizado. Então duas máquinas diferentes baseadas na mesma CPU têm o mesmo código de máquina. A linguagem assembly pode ter dialetos - sintaxe diferente, mas a maioria dos "comandos" serão os mesmos na mesma máquina, pois serão traduzidos para a mesma instrução do processador.
x86 linguagem assembly | Wikiwand - procure pela sintaxe AT&T vs Intel.

A linguagem assembly pode ter alguns dos seus comandos internos (macros), que são exclusivos para essa variante em particular. Estas macros ou traduzem para alguma sequência específica de instruções ou endereço de localização de memória ou algo mais que tenha algum significado para o processador. Algumas vezes você pode fazer suas próprias macros também.
Para reformular a sua pergunta. A mesma versão do Linux terá uma linguagem de montagem diferente numa plataforma diferente como x86, ARM, Alpha, MIPS, PowerPC etc. It's também é possível fazer compilação cruzada, o que significa compilar programas em uma arquitetura para uma arquitetura diferente. It's por exemplo, é possível compilar um programa para o ARM no x86. Nesse caso você tem que usar a linguagem/compilador assembly para a plataforma de hardware de destino.