Existem sistemas operacionais livres e leves que podem rodar arquivos .exe e não são Windows?

Não há uma resposta completa para isto que não seja obnóxioamente técnica.

.exe é apenas um marcador de arquivo que diz ao sistema operacional que um arquivo FATx é suposto ser um binário executável. Por si só ele não diz nada sobre o arquivo além disso; existem inúmeros formatos executáveis suportados por vários sistemas operacionais, e a maioria deles que são suportados pelo Windows são arquivos .exe. Você pode precisar do DOSBox ou algo parecido para executar alguns deles, e é assim que tem de ser - você não sabe até tentar.

O outro problema está relacionado ao inferno da DLL - quase qualquer programa salva alguns muito simples que não fazem muito de nada faz chamadas para o SO por algum mecanismo ou outro. A forma como as chamadas são feitas é a ABI (Application Binary Interface), enquanto as chamadas em si são a API (Application Programming Interface). Se as bibliotecas e chamadas que a aplicação precisa não estão lá, ela simplesmente não vai rodar; Notepad++, por exemplo, é um ótimo editor de texto, mas foi projetado para a API do Windows e não vai rodar no meu Mac sem o Wine, que substitui as bibliotecas que definem a implementação do WinAPI.

Se você souber que o que você tem é uma aplicação Windows, você pode executá-la em ReactOS ou Linux+Wine, dependendo de até onde ela se encaixa na API do Windows. Ou você pode não conseguir. Mas eles são a sua melhor aposta.