Como saber se o meu router e modem é compatível com os cabos Ethernet Cat5, Cat6, ou Cat7

É bastante fácil.

CAT 3 10Mbit/s a 5+90+5 metros até um total de 100m no máximo (não foram utilizados nos últimos 20 anos, pelo menos).

CAT 5 100Mbit/s a 5+90+5 metros a um total de 100m máximo e velocidades mais lentas.

Cat 5e 1Gbit/s a 5+90+5 metros a um total de 100m máximo e todas as velocidades mais lentas.

Cat 6 1Gbit/s a 5+90+5 metros a um total de 100m máximo e todas as velocidades mais lentas. E também a 10Gbit/s a 5+20+5 metros a um total de 30m máximo e todas as velocidades mais lentas a 100m

Cat 6A 10Gbit/s a 5+90+5 metros a um total de 100m máximo e todas as velocidades mais lentas.

CAT 7 don't existem na realidade.

Cat 8 25 e 40Gbit/s a 5+20+5 metros a um total de 30m máximo e talvez a 36 metros com melhores cabos de patch em ambas as extremidades. E todas as velocidades mais lentas até 100m. Mas não se destina a ser usado em uso normal de cabos de escritório, apenas para ser usado em centros de dados. Também tem um conector diferente para não caber em conectores RJ45 comuns até onde eu sei.

Então isso foi um pouco de fundo. Com 100% de chance qualquer cabo CAT 6 irá funcionar muito bem. E com quase 100% de probabilidade qualquer cabo CAT 5e funcionará exactamente como um bom cabo. As chances de você realmente ter um cabo CAT 5 é realmente pequeno.
Então com tudo o que foi dito, e os meus pensamentos sobre a sua possível configuração e o fraseado da sua pergunta. Você provavelmente tem uma configuração de rede tem 100Mbit/s como o gargalo de gargalo e curta distância. Portanto, qualquer cabo (não danificado CAT Xx) vai funcionar muito bem. A beleza é que funcionará ou não, e você NÃO terá uma velocidade mais rápida com um cabo melhor se não ambos os conjuntos de equipamentos finais suportarem velocidades mais altas. E muito provavelmente você não tem um link de internet de 1Gbit/s, então com certeza você saberia disso (e seu custo relacionado). É bastante fácil, sem fibra in, sem velocidade Gbit/s...