Até onde consegues ver em mar aberto?

Se você'não está em pé em nada (digamos 2 metros de altura), você pode ver cerca de 5 km.
Se você'está em pé no ninho de corvo'no ninho do seu navio (30m), você pode ver cerca de 20 km.
Se você'estiver em cima de um arranha-céus (300m), você pode ver cerca de 60 km.
Se você'estiver em cima do Everest, ou de um avião (9000m), você pode ver cerca de 340 km.

Em geral, se você're de pé [matemática]x[/math] metros de altura, e [matemática]x[/math] é muito menor que o raio da Terra, você pode ver cerca de [matemática]\sqrt{2Rx}[/math] metros.

Para calcular isso, deixe's desenhar um diagrama simples:
<

>>br>(it's obviamente não à escala)

p>Let [matemática]R[/math] seja o raio da Terra, e [matemática]x[/math] seja a sua altura. A linha vermelha mais alta é a sua linha de visão, e a distância entre seus olhos e onde ela cruza a Terra é a distância até o horizonte. Um lado do triângulo tem comprimento [matemática]R[/math]; a hipotenusa tem comprimento [matemática]R + x[/math], e por Pitágoras, o terceiro lado, portanto, tem comprimento [matemática]\sqrt{2Rx + x^2}[/math].

Sem você're muito alto, [matemática]x[/math] é muito menor que [matemática]R[/math] (que é ~6.400.000 metros), então [matemática]\sqrt{2Rx + x^2}. \Aproximadamente \sqrt{2Rx}[/math][/math] .

Você pode notar que a distância dos seus olhos para o horizonte não é exatamente a mesma distância dos seus pés para o horizonte, mas para pequena [matemática]x[/math] (e pequena aqui significa a qualquer momento que você está't no espaço) a diferença é bastante irrelevante. O valor exato da distância até o horizonte "conforme a formiga caminha" é o ângulo [matemática] dividido por [matemática]2\pi[/math] multiplicado pela circunferência da Terra, que é [matemática]2\pi R[/math]. Então temos [matemática] Distância = R ^arcsin{\i}[/math] [/math]. Agora, vamos fazer algumas aproximações. Primeiro, para valores pequenos, [matemática]{t}arcsin{t} \Aproxima-te da matemática. Segundo, para [matemática]x << R[/math], [matemática]R+x = R[/math]. Usando estes dois, temos
[matemática] Distância = R {\i1}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i1}[/math] [matemática] = R {\i}arcsin{\i}{\i}{\i}[/math] [matemática] = R {\i}{\i}{\i}[/math] [matemática] = R {\i}{\i}{\i}{\i}[/math] = R {\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}[matemática] = R {\i1}frac